Найти область определение и область значения функции y=x2+3x-4/x-2
Чтобы найти область определения и область значений функции \( y = \frac{x^2 + 3x - 4}{x - 2} \), давайте рассмотрим каждый из этих понятий.
Область определения – это множество значений \( x \), для которых функция определена. В данном случае функция является дробной, и важно, чтобы знаменатель не равнялся нулю.
Найдем, при каком значении \( x \) знаменатель равен нулю:
\[ x - 2 = 0 \Rightarrow x = 2 \]
Таким образом, \( x = 2 \) исключается из области определения. Значит, область определения функции будет:
\[ D = \{ x \in \mathbb{R} \mid x \neq 2 \} \]
Или в интервале: \( (-\infty, 2) \cup (2, +\infty) \).
Область значения – это множество возможных значений \( y \), которые может принимать функция. Для нахождения области значения сначала упростим функцию:
\[ y = \frac{x^2 + 3x - 4}{x - 2} \]
Выполним деление с остатком (разложение):
\[ x^2 + 3x - 4 = (x - 2)(x + 5) + 6 \]
Следовательно, можно записать:
\[ y = x + 5 + \frac{6}{x - 2} \]
При \( x \to 2 \), \( y \to +\infty \) или \( y \to -\infty\) в зависимости от направления подхода к 2. Это означает, что \( y \) может принимать значения от \(-\infty\) до \(+\infty\), за исключением одного значения, которое соответствовало бы нулю в дроби:
\[ y \neq 5 \quad \text{(поскольку } \frac{6}{x-2} \text{ не может быть равным 0)} \]
Таким образом, область значений функции будет:
\[ E = \{ y \in \mathbb{R} \mid y \neq 5 \} \]
Или в интервале: \( (-\infty, 5) \cup (5, +\infty) \).
Подведем итог:
- Область определения: \( (-\infty, 2) \cup (2, +\infty) \)
- Область значений: \( (-\infty, 5) \cup (5, +\infty) \)
