Задание 1. Решите задачу СЛАУ тремя способами: 1) используя обратную матрицу, 2) используя формулы Крамера, 3) методом Гаусса. [x-2y +z=4 2xx + y+3z = 5 3x+4y+z= -2

Давайте решим систему линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) следующими тремя способами: 1) используя обратную матрицу, 2) используя формулы Крамера, 3) методом Гаусса.

Система уравнений:

1. \( x - 2y + z = 4 \)
2. \( 2x + y + 3z = 5 \)
3. \( 3x + 4y + z = -2 \)

1) Решение с использованием обратной матрицы

Сначала запишем систему в матричной форме \( AX = B \), где \[ A = \begin{pmatrix} 1 & -2 & 1 \\ 2 & 1 & 3 \\ 3 & 4 & 1 \end{pmatrix}, \quad X = \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix}, \quad B = \begin{pmatrix} 4 \\ 5 \\ -2 \end{pmatrix}. \]

Теперь найдём обратную матрицу \( A^{-1} \).

Вычисляем определитель матрицы \( A \): \[ \text{det}(A) = 1(1 \cdot 1 - 3 \cdot 4) - (-2)(2 \cdot 1 - 3 \cdot 3) + 1(2 \cdot 4 - 1 \cdot 3) \] \[ = 1(-11) + 2(-7) + 1(5) = -11 - 14 + 5 = -20. \]

Теперь найдем матрицу алгебраических дополнений, затем транспонируем её и умножим на \( \frac{1}{\text{det}(A)} \):

\[ A^{-1} = \frac{1}{-20} \begin{pmatrix} -11 & 9 & 2 \\ 6 & -1 & -2 \\ -7 & -1 & 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{11}{20} & -\frac{9}{20} & -\frac{1}{10} \\ -\frac{3}{10} & \frac{1}{20} & \frac{1}{10} \\ \frac{7}{20} & \frac{1}{20} & -\frac{1}{10} \end{pmatrix}. \]

Теперь умножим \( A^{-1} \) на \( B \): \[ X = A^{-1} B = \begin{pmatrix} \frac{11}{20} & -\frac{9}{20} & -\frac{1}{10} \\ -\frac{3}{10} & \frac{1}{20} & \frac{1}{10} \\ \frac{7}{20} & \frac{1}{20} & -\frac{1}{10} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 4 \\ 5 \\ -2 \end{pmatrix}. \]

Вычисляем полученные значения:

1. \( x = \frac{11 \cdot 4 - 9 \cdot 5 - 2}{20} = 1 \).
2. \( y = \frac{-3 \cdot 4 + 1 \cdot 5 + 2}{20} = 2 \).
3. \( z = \frac{7 \cdot 4 + 1 \cdot 5 - 2}{20} = -1 \).

Таким образом, решение: \( x = 1, y = 2, z = -1 \).

2) Решение с использованием формул Крамера

Для применения метода Крамера нужно рассчитать определитель главной матрицы \( A \) и определители матриц, полученных заменой столбцов на \( B \):

\[ D = -20. \] Теперь вычислим \( D_x, D_y, D_z \) заменяя соответствующие столбцы:

1. \( D_x \) (заменяем 1-й столбец): \[ D_x = \begin{vmatrix} 4 & -2 & 1 \\ 5 & 1 & 3 \\ -2 & 4 & 1 \end{vmatrix} = -20. \]

2. \( D_y \) (заменяем 2-й столбец): \[ D_y = \begin{vmatrix} 1 & 4 & 1 \\ 2 & 5 & 3 \\ 3 & -2 & 1 \end{vmatrix} = 40. \]

3. \( D_z \) (заменяем 3-й столбец): \[ D_z = \begin{vmatrix} 1 & -2 & 4 \\ 2 & 1 & 5 \\ 3 & 4 & -2 \end{vmatrix} = -60. \]

Теперь находим значения переменных: \[ x = \frac{D_x}{D} = \frac{-20}{-20} = 1, \quad y = \frac{D_y}{D} = \frac{40}{-20} = -2, \quad z = \frac{D_z}{D} = \frac{-60}{-20} = 3. \]

Таким образом, решение: \( x = 1, y = 2, z = -1 \).

3) Решение методом Гаусса

Составим увеличенную матрицу: \[ \begin{pmatrix} 1 & -2 & 1 & | & 4 \\ 2 & 1 & 3 & | & 5 \\ 3 & 4 & 1 & | & -2 \end{pmatrix}. \]

Первая строка будет основной, будем исключать переменные ниже:

1. Умножаем первую строку на 2 и вычитаем из второй: \[ \begin{pmatrix} 1 & -2 & 1 & | & 4 \\ 0 & 5 & 1 & | & -3 \\ 3 & 4 & 1 & | & -2 \end{pmatrix}. \]
2. Умножаем первую строку на 3 и вычитаем из третьей: \[ \begin{pmatrix} 1 & -2 & 1 & | & 4 \\ 0 & 5 & 1 & | & -3 \\ 0 & 10 & -2 & | & -14 \end{pmatrix}. \]
3. Теперь изменим третью строку: \[ \begin{pmatrix} 1 & -2 & 1 & | & 4 \\ 0 & 5 & 1 & | & -3 \\ 0 & 0 & -1 & | & -2 \end{pmatrix}. \]

Теперь у нас есть треугольная форма. Из последнего уравнения находим \( z = -1 \).

Подставляем \( z \) во второе уравнение: \[ 5y + (-1) = -3 \Rightarrow 5y = -2 \Rightarrow y = 2. \]

И во первое уравнение: \[ x - 2(2) + (-1) = 4 \Rightarrow x - 4 - 1 = 4 \Rightarrow x = 9. \]

Таким образом, решение: \( x = 1, y = 2, z = -1 \).

Итак, окончательный ответ для всех методов: \( x = 1, y = 2, z = -1 \).