Сократите дробь 9y²-24xy+16x²/64x³-27y³
Чтобы сократить дробь \(\frac{9y^2 - 24xy + 16x^2}{64x^3 - 27y^3}\), начнем с факторизации числителя и знаменателя.
- Факторизация числителя \(9y^2 - 24xy + 16x^2\):
Этот многочлен можно представить в виде квадрата двучлена. Для этого найдем корни уравнения: \[ 9y^2 - 24xy + 16x^2 = (3y - 4x)^2. \] Таким образом, числитель можно записать как: \[ (3y - 4x)^2. \]
- Факторизация знаменателя \(64x^3 - 27y^3\):
Это выражение является разностью кубов и можно записать его в виде: \[ a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2), \] где \(a = 4x\) и \(b = 3y\). Таким образом: \[ 64x^3 - 27y^3 = (4x - 3y)(16x^2 + 12xy + 9y^2). \]
- Теперь можем записать дробь в факторизованном виде: \[ \frac{(3y - 4x)^2}{(4x - 3y)(16x^2 + 12xy + 9y^2)}. \]
Обратите внимание, что \(3y - 4x = -(4x - 3y)\). Это позволяет сократить дробь: \[ \frac{(3y - 4x)(3y - 4x)}{-(4x - 3y)(16x^2 + 12xy + 9y^2)} = \frac{-(3y - 4x)}{16x^2 + 12xy + 9y^2}. \]
Таким образом, итоговая сокращенная форма дроби: \[ \frac{-(3y - 4x)}{16x^2 + 12xy + 9y^2}. \]
Если есть еще вопросы или необходимо разобраться с другими темами, не стесняйтесь спрашивать!
