На сторонах  M N MN и  N K NK треугольника  M N K MNK отмечены точки  Q Q и  S S так, что  M Q : Q N = MQ:QN=  7 : 3 7:3 и  K S : S N = KS:SN=  7 : 3 7:3. Чему равен отрезок  Q S QS, если  M K = MK=  70 70  мм мм?

Для решения данной задачи необходимо использовать свойства подобия треугольников и пропорциональности отрезков.

Давайте обозначим длины отрезков:

1. Пусть \( MQ = 7x \) и \( QN = 3x \). Тогда длина отрезка \( MN \) будет равна: \[ MN = MQ + QN = 7x + 3x = 10x. \]

2. Аналогично, пусть \( KS = 7y \) и \( SN = 3y \). Тогда длина отрезка \( KN \) будет равна: \[ KN = KS + SN = 7y + 3y = 10y. \]

Теперь по условию задачи мы знаем, что \( MK = 70 \) мм. Так как \( MK \) — это сумма \( MN \) и \( KN \), то можем записать: \[ MK = MN + KN = 10x + 10y. \] Поскольку \( MN \) и \( KN \) равны, можно обозначить \( x = y \). Таким образом: \[ MK = 10x + 10x = 20x. \] Подставляем значение \( MK \): \[ 20x = 70. \] Отсюда находим \( x \): \[ x = \frac{70}{20} = 3.5. \]

Теперь можем найти длины отрезков: \[ MN = 10x = 10 \times 3.5 = 35 \text{ мм}, \] \[ KN = 10y = 10 \times 3.5 = 35 \text{ мм}. \]

Теперь найдем длину отрезка \( QS \). Так как точки \( Q \) и \( S \) делят отрезки \( MN \) и \( KN \) в пропорции \( 7:3 \), то можем написать: \[ QS = \frac{KS}{KN} \cdot MN = \frac{7}{10} \cdot MN + \frac{7}{10} \cdot KN. \] Подставляя значения: \[ QS = \frac{7}{10} \cdot 35 + \frac{7}{10} \cdot 35 = \frac{7 \cdot 35}{10} + \frac{7 \cdot 35}{10} = \frac{14 \cdot 35}{10} = \frac{490}{10} = 49 \text{ мм}. \]

Таким образом, длина отрезка \( QS \) равна 49 мм.