Решить уравнение по теореме безу. х³-3х-2=0

Для решения уравнения \( x^3 - 3x - 2 = 0 \) с использованием теоремы Бе́ру можно начнем с поиска рациональных корней. Согласно теореме, рациональные корни многочлена должны быть делителями свободного члена (в данном случае -2) и делителями ведущего коэффициента (в данном случае 1).

Пробуем возможные делители -2: это \( \pm 1 \) и \( \pm 2 \).

1. Проверим \( x = 1 \): \[ 1^3 - 3 \cdot 1 - 2 = 1 - 3 - 2 = -4 \quad \text{(не корень)} \]

2. Проверим \( x = -1 \): \[ (-1)^3 - 3 \cdot (-1) - 2 = -1 + 3 - 2 = 0 \quad \text{(корень)} \]

Таким образом, \( x = -1 \) является корнем уравнения.

Теперь мы можем разделить многочлен \( x^3 - 3x - 2 \) на \( x + 1 \) с помощью деления многочленов.

При делении \( x^3 - 3x - 2 \) на \( x + 1 \) получаем:

1. \( x^2 \) (первый член результата) на \( x + 1 \): \[ x^2 \cdot (x + 1) = x^3 + x^2 \] Вычитаем: \[ (x^3 - 3x - 2) - (x^3 + x^2) = - x^2 - 3x - 2 \]

2. Следующий член - \( -x \): \[ -x \cdot (x + 1) = -x^2 - x \] Вычитаем: \[ (- x^2 - 3x - 2) - (-x^2 - x) = -2x - 2 \]

3. Следующий член - \( -2 \): \[ -2 \cdot (x + 1) = -2x - 2 \] Вычитаем: \[ (-2x - 2) - (-2x - 2) = 0 \]

После деления мы получаем: \[ x^3 - 3x - 2 = (x + 1)(x^2 - x - 2) \]

Теперь решим оставшееся квадратное уравнение \( x^2 - x - 2 = 0 \) с помощью разложения на множители или с помощью дискриминанта: \[ D = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-2) = 1 + 8 = 9 \] Корни: \[ x_1 = \frac{-(-1) + \sqrt{D}}{2 \cdot 1} = \frac{1 + 3}{2} = 2 \] \[ x_2 = \frac{-(-1) - \sqrt{D}}{2 \cdot 1} = \frac{1 - 3}{2} = -1 \]

Итак, корни уравнения \( x^3 - 3x - 2 = 0 \) составляли:

1. \( x = -1 \)
2. \( x = 2 \)

Таким образом, уравнение имеет три корня: \[ x = -1, \quad x = 2, \quad \text{и второй } x = -1 \text{ (дублетное корень)}. \]

Если есть дополнительные вопросы или вам нужны уточнения, не стесняйтесь спрашивать!