Упростите выражение: -10√125+ 2√108+7√192-3√245.
Чтобы упростить выражение \(-10\sqrt{125} + 2\sqrt{108} + 7\sqrt{192} - 3\sqrt{245}\), давайте сначала упростим каждое радикальное выражение отдельно.
Упрощение \(-10\sqrt{125}\): \[ \sqrt{125} = \sqrt{25 \cdot 5} = \sqrt{25} \cdot \sqrt{5} = 5\sqrt{5} \] Следовательно, \[ -10\sqrt{125} = -10 \cdot 5\sqrt{5} = -50\sqrt{5}. \]
Упрощение \(2\sqrt{108}\): \[ \sqrt{108} = \sqrt{36 \cdot 3} = \sqrt{36} \cdot \sqrt{3} = 6\sqrt{3} \] Таким образом, \[ 2\sqrt{108} = 2 \cdot 6\sqrt{3} = 12\sqrt{3}. \]
Упрощение \(7\sqrt{192}\): \[ \sqrt{192} = \sqrt{64 \cdot 3} = \sqrt{64} \cdot \sqrt{3} = 8\sqrt{3} \] Поэтому, \[ 7\sqrt{192} = 7 \cdot 8\sqrt{3} = 56\sqrt{3}. \]
Упрощение \(-3\sqrt{245}\): \[ \sqrt{245} = \sqrt{49 \cdot 5} = \sqrt{49} \cdot \sqrt{5} = 7\sqrt{5} \] Следовательно, \[ -3\sqrt{245} = -3 \cdot 7\sqrt{5} = -21\sqrt{5}. \]
Теперь подставим все упрощенные выражения обратно в исходное выражение: \[ -50\sqrt{5} + 12\sqrt{3} + 56\sqrt{3} - 21\sqrt{5}. \]
Теперь объединим подобные члены:
- Для \(\sqrt{5}\): \[ -50\sqrt{5} - 21\sqrt{5} = -71\sqrt{5}. \]
- Для \(\sqrt{3}\): \[ 12\sqrt{3} + 56\sqrt{3} = 68\sqrt{3}. \]
Таким образом, окончательное упрощенное выражение будет: \[ -71\sqrt{5} + 68\sqrt{3}. \]
