х⁴+3х²+1-5/2=0
Чтобы решить уравнение \( x^4 + 3x^2 + 1 - \frac{5}{2} = 0 \), сначала упростим его. Перепишем уравнение следующим образом:
\[ x^4 + 3x^2 + 1 - 2.5 = 0 \]
Теперь упростим его:
\[ x^4 + 3x^2 - 1.5 = 0 \]
Теперь заметим, что это уравнение является полиномом четвёртой степени. Для его решения можно ввести подстановку. Пусть \( y = x^2 \). Тогда \( x^4 = y^2 \), и уравнение примет вид:
\[ y^2 + 3y - 1.5 = 0 \]
Теперь решим это квадратное уравнение с помощью формулы корней:
\[ y = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \]
где \( a = 1 \), \( b = 3 \), \( c = -1.5 \). Подставим эти значения:
\[ y = \frac{-3 \pm \sqrt{3^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-1.5)}}{2 \cdot 1} \]
Сначала найдем дискриминант:
\[ D = 3^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-1.5) = 9 + 6 = 15 \]
Теперь подставим дискриминант в формулу:
\[ y = \frac{-3 \pm \sqrt{15}}{2} \]
Таким образом, у нас есть два значения для \( y \):
- \( y_1 = \frac{-3 + \sqrt{15}}{2} \)
- \( y_2 = \frac{-3 - \sqrt{15}}{2} \)
Теперь нужно вернуться к переменной \( x \), учитывая, что \( y = x^2 \). Нам нужно проверить, дают ли эти значения положительные корни:
- Для \( y_1 = \frac{-3 + \sqrt{15}}{2} \) — если это выражение положительное, то \( x = \sqrt{y_1} \) либо \( x = -\sqrt{y_1} \).
- Для \( y_2 = \frac{-3 - \sqrt{15}}{2} \) — это значение обязательно отрицательно, так как \( \sqrt{15} \) больше 3, следовательно, для этого значения нет действительных корней.
Таким образом, у уравнения всего два действительных корня, которые можно найти следующим образом:
\[ x = \sqrt{\frac{-3 + \sqrt{15}}{2}} \quad \text{и} \quad x = -\sqrt{\frac{-3 + \sqrt{15}}{2}} \]
Это даст окончательные решения исходного уравнения. Если есть вопросы по конкретным этапам решения, не стесняйтесь уточнять!
