решить иррациональное уравнение √х-2=х-4

Чтобы решить иррациональное уравнение \( \sqrt{x} - 2 = x - 4 \), давайте сначала изолируем корень. Для этого можем немного изменить уравнение:

1. Переносим \( -2 \) на правую сторону:

\[ \sqrt{x} = x - 2 \]

2. Теперь возведем обе стороны уравнения в квадрат, чтобы избавиться от квадратного корня:

\[ (\sqrt{x})^2 = (x - 2)^2 \]

3. Раскрываем квадрат правой стороны:

\[ x = x^2 - 4x + 4 \]

4. Приводим уравнение к стандартному виду:

\[ 0 = x^2 - 5x + 4 \]

5. Теперь решим квадратное уравнение \( x^2 - 5x + 4 = 0 \) с помощью дискриминанта. Дискриминант \( D \) равен:

\[ D = b^2 - 4ac = (-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 4 = 25 - 16 = 9 \]

6. Так как дискриминант положителен, у уравнения два корня. Используем формулу корней:

\[ x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{5 \pm 3}{2} \]

7. Находим корни:

\[ x_1 = \frac{5 + 3}{2} = \frac{8}{2} = 4 \] \[ x_2 = \frac{5 - 3}{2} = \frac{2}{2} = 1 \]

8. Теперь проверим каждое значение на корректность, подставив их обратно в исходное уравнение.

Для \( x = 4 \): \[ \sqrt{4} - 2 = 4 - 4 \quad \Rightarrow \quad 2 - 2 = 0 \quad \Rightarrow \quad 0 = 0 \quad \text{(верно)} \]

Для \( x = 1 \): \[ \sqrt{1} - 2 = 1 - 4 \quad \Rightarrow \quad 1 - 2 = -1 \quad \Rightarrow \quad -1 \neq -3 \quad \text{(неверно)} \]

Таким образом, решение уравнения:

\[ x = 4 \]

Это и есть единственный корень нашего иррационального уравнения.