Х⁴-3Х²-8=0 решить

Чтобы решить уравнение \( X^4 - 3X^2 - 8 = 0 \), начнем с замены переменной. Обозначим \( Y = X^2 \). Таким образом, уравнение можно переписать как:

\[ Y^2 - 3Y - 8 = 0 \]

Теперь нам нужно решить это квадратное уравнение. Мы можем использовать дискриминант:

\[ D = b^2 - 4ac \]

где \( a = 1 \), \( b = -3 \), \( c = -8 \). Подставим значения в формулу:

\[ D = (-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-8) \] \[ D = 9 + 32 = 41 \]

Так как дискриминант положителен, уравнение имеет два различных действительных корня. Используем формулу для нахождения корней квадратного уравнения:

\[ Y_1, Y_2 = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} \] \[ Y_1, Y_2 = \frac{3 \pm \sqrt{41}}{2} \]

Теперь найдем значения \( Y \):

1. \( Y_1 = \frac{3 + \sqrt{41}}{2} \)
2. \( Y_2 = \frac{3 - \sqrt{41}}{2} \)

После этого вернемся к переменной \( X \).

Напомним, что \( Y = X^2 \), следовательно:

1. Для \( Y_1 \): \[ X^2 = Y_1 = \frac{3 + \sqrt{41}}{2} \] Тогда \( X = \pm \sqrt{\frac{3 + \sqrt{41}}{2}} \).

2. Для \( Y_2 \): \[ X^2 = Y_2 = \frac{3 - \sqrt{41}}{2} \] Это значение отрицательное, так как \(\sqrt{41} > 3\), следовательно, корней здесь не будет в действительном числе.

Итак, у нас есть два действительных корня уравнения:

\[ X_1 = \sqrt{\frac{3 + \sqrt{41}}{2}}, \quad X_2 = -\sqrt{\frac{3 + \sqrt{41}}{2}} \]

Это и есть решения уравнения \( X^4 - 3X^2 - 8 = 0 \).