Найти область определения функции: y = 3/(sin 2x + 2cos x)

Чтобы найти область определения функции \( y = \frac{3}{\sin 2x + 2\cos x} \), мы должны определить, при каких значениях \( x \) выражение в знаменателе не равно нулю, так как деление на ноль невозможно.

1. Решим уравнение в знаменателе: \[ \sin 2x + 2\cos x = 0 \]

2. Заменим \( \sin 2x \) по формуле двойного угла: \[ \sin 2x = 2 \sin x \cos x \] Таким образом, уравнение принимает вид: \[ 2 \sin x \cos x + 2 \cos x = 0 \]

3. Вынесем общие множители: \[ 2 \cos x (\sin x + 1) = 0 \]

4. Теперь решим каждое из множителей:

   • \( 2 \cos x = 0 \) дает: \[ \cos x = 0 \implies x = \frac{\pi}{2} + k\pi, \quad k \in \mathbb{Z} \]
   • \( \sin x + 1 = 0 \) дает: \[ \sin x = -1 \implies x = \frac{3\pi}{2} + 2k\pi, \quad k \in \mathbb{Z} \]

5. Соберем все найденные точки, где функция не определена:

   • \( x = \frac{\pi}{2} + k\pi \)
   • \( x = \frac{3\pi}{2} + 2k\pi \)

Таким образом, область определения функции \( y = \frac{3}{\sin 2x + 2\cos x} \) — это все значения \( x \), кроме тех, которые мы нашли. В символической форме это можно записать как: \[ D(y) = \mathbb{R} \setminus \left\{ \frac{\pi}{2} + k\pi, \frac{3\pi}{2} + 2k\pi \mid k \in \mathbb{Z} \right\} \]

Это означает, что функция определена для всех реальных чисел, кроме указанных значений.