В параллелограмме ABCD проведены высоты ВМ и ВК. Найдите периметр параллелограмма, если ВМ = 6 см, ВК = 9 см, угол ADC = 150.
Чтобы найти периметр параллелограмма ABCD, сначала нам нужно выяснить длины его сторон. Давайте обозначим длину стороны AB (или CD) как \( a \) и длину стороны BC (или AD) как \( b \).
В параллелограмме высота, проведенная из вершины, равна произведению длины основания на синус угла между основанием и стороной, к которой проведена высота.
- Высота \( BM \) проведена из вершины B на сторону AC (или AD), следовательно:
\[ BM = b \cdot \sin(\angle ABC) \] Угол ABC равен углу ADC и равен \( 30^\circ \) (так как сумма углов в параллелограмме равна 180°). Значит:
\[ BM = b \cdot \sin(30^\circ) = b \cdot \frac{1}{2} \]
Так как \( BM = 6 \) см, имеем:
\[ 6 = b \cdot \frac{1}{2} \implies b = 12 \text{ см} \]
- Высота \( BK \) проведена из вершины B на сторону AB (или CD), следовательно:
\[ BK = a \cdot \sin(\angle BCD) \] Угол BCD равен углу ADC и равен \( 150^\circ \). Тогда:
\[ BK = a \cdot \sin(150^\circ) = a \cdot \frac{1}{2} \]
Так как \( BK = 9 \) см, имеем:
\[ 9 = a \cdot \frac{1}{2} \implies a = 18 \text{ см} \]
Теперь найдём периметр параллелограмма:
\[ P = 2a + 2b = 2 \cdot 18 + 2 \cdot 12 = 36 + 24 = 60 \text{ см} \]
Таким образом, периметр параллелограмма ABCD равен \( 60 \) см.
