х²-7х+4=|х-2|
Давайте решим уравнение \(x^2 - 7x + 4 = |x - 2|\).
Для начала нужно рассмотреть два случая, так как модуль может принимать два значения.
- Случай 1: \(x - 2 \geq 0\) (то есть \(x \geq 2\))
В этом случае \( |x - 2| = x - 2 \). Подставим в уравнение:
\[ x^2 - 7x + 4 = x - 2 \]
Переносим все на одну сторону уравнения:
\[ x^2 - 7x - x + 4 + 2 = 0 \]
Упрощаем:
\[ x^2 - 8x + 6 = 0 \]
Теперь можем использовать дискриминант для решения квадратного уравнения:
\[ D = b^2 - 4ac = (-8)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 6 = 64 - 24 = 40 \]
Корни данного уравнения вычисляются по формуле:
\[ x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{8 \pm \sqrt{40}}{2} \]
Упрощаем корень:
\[ \sqrt{40} = 2\sqrt{10} \]
Тогда корни:
\[ x = \frac{8 \pm 2\sqrt{10}}{2} = 4 \pm \sqrt{10} \]
Проверим, подходят ли корни \(x = 4 + \sqrt{10}\) и \(x = 4 - \sqrt{10}\) под условие \(x \geq 2\):
- \(4 + \sqrt{10} > 2\),
- \(4 - \sqrt{10} \approx 0.84\) (не подходит).
Итак, из первого случая у нас есть решение \(x = 4 + \sqrt{10}\).
- Случай 2: \(x - 2 < 0\) (то есть \(x < 2\))
В этом случае \( |x - 2| = -(x - 2) = -x + 2 \). Подставим в уравнение:
\[ x^2 - 7x + 4 = -x + 2 \]
Переносим все на одну сторону:
\[ x^2 - 7x + x + 4 - 2 = 0 \]
Упрощаем:
\[ x^2 - 6x + 2 = 0 \]
Снова используем дискриминант:
\[ D = (-6)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 2 = 36 - 8 = 28 \]
Корни:
\[ x = \frac{6 \pm \sqrt{28}}{2} = \frac{6 \pm 2\sqrt{7}}{2} = 3 \pm \sqrt{7} \]
Проверим, подходят ли \(x = 3 + \sqrt{7}\) и \(x = 3 - \sqrt{7}\) под условие \(x < 2\):
- \(3 + \sqrt{7} > 2\) (не подходит),
- \(3 - \sqrt{7} \approx 0.354\) (подходит).
Таким образом, у нас есть два решения:
- \(x = 4 + \sqrt{10}\) (при \(x \geq 2\)),
- \(x = 3 - \sqrt{7}\) (при \(x < 2\)).
Значит, окончательные решения уравнения:
\[ x = 4 + \sqrt{10} \quad \text{и} \quad x = 3 - \sqrt{7}. \]
