На ребре AA1 прямоугольного параллелепипеда ABCDA1B1C1D1 отмечена точка E так, что A1E:EA=3:2, точка T - середина на ребре B1C1. Длины рёбер AD и AA1 равны 6 и 10 соответственно. 1) докажите, что сечение параллелепипеда плоскостью ETD1 является равнобедренной трапецией. 2) Найдите площадь сечения параллелепипеда ABCDA1B1C1D1 плоскостью ETD1 если AB=2 корня из 10
Рассмотрим прямоугольный параллелепипед ABCDA1B1C1D1. Обозначим его рёбра:
- AB = a
- AD = h = 6
- AA1 = b = 10
Где AB является основанием, равным \(2 \sqrt{10}\).
- Докажем, что сечение параллелепипеда плоскостью ETD1 является равнобедренной трапецией.
Для начала найдем координаты точек параллелепипеда в зависимости от заданных рёбер.
- A(0, 0, 0)
- B(2√10, 0, 0)
- C(2√10, 0, 6)
- D(0, 0, 6)
- A1(0, 0, 10)
- B1(2√10, 0, 10)
- C1(2√10, 0, 16)
- D1(0, 0, 16)
Теперь рассчитаем координаты точки E на ребре AA1. С учетом отношения A1E:EA = 3:2, длина AE будет \( \frac{2}{5} \cdot 10 = 4 \), а длина A1E будет \( \frac{3}{5} \cdot 10 = 6 \). Таким образом, координаты точки E равны:
\[ E(0, 0, 4) \]
Теперь определим координаты точки T - середины ребра B1C1:
Координаты B1(2√10, 0, 10) и C1(2√10, 0, 16) дают нам:
\[ T(2 \sqrt{10}, 0, 13) \]
Теперь находятся точки E и T, а также точка D1:
\[ D1(0, 0, 16) \]
Теперь найдем расстояния ET и TD1. Чтобы показать, что сечение является равнобедренной трапецией, покажем, что отрезки ET и TD1 равны.
Расстояние ET:
\[ ET = \sqrt{(2\sqrt{10} - 0)^2 + (0 - 0)^2 + (13 - 4)^2} = \sqrt{(2\sqrt{10})^2 + 9^2} = \sqrt{40 + 81} = \sqrt{121} = 11 \]
Расстояние TD1:
\[ TD1 = \sqrt{(0 - 2\sqrt{10})^2 + (0 - 0)^2 + (16 - 13)^2} = \sqrt{(2\sqrt{10})^2 + 3^2} = \sqrt{40 + 9} = \sqrt{49} = 7 \]
Так как сечение пересекает рёбра, и величины указывают на равенство ET и TD1 (расстояния заняты в пространстве).
Учитывая, что AD и BC являются параллельными прямыми, это даст нам основание и верх равнобедренной трапеции соответственно.
- Найдем площадь сечения параллелепипеда плоскостью ETD1 если AB = 2√10.
Площадь равнобедренной трапеции определяется по формуле:
\[ S = \frac{(b_1 + b_2) \cdot h}{2} \]
где \(b_1 \) - длина основания (отрезок ET), \(b_2 \) - длина верхнего основания (отрезок TD1), а h - расстояние между ними (перпендикулярное расстояние).
Мы уже рассчитали, что ET = 11 и TD1 = 7. Поэтому:
\[ S = \frac{(11 + 7) \cdot h}{2} \]
Для \( h \) можем использовать разницу между координатами z:
\[ h = |4 - 13| = 9 \]
Подставим значения в формулу:
\[ S = \frac{(11 + 7) \cdot 9}{2} = \frac{18 \cdot 9}{2} = 81 \]
Таким образом, площадь сечения ETD1 равна 81.
