Определите скорости шаров после абсолютно упругого прямого удара. Массы шаров равны 1 и 3 кг, скорости до удара равны 5 и 2 м/с. Рассмотрите два случая 1) Шары движутся навстречу друг другу 2) Один шар догоняет другой

Для решения этой задачи воспользуемся законами сохранения импульса и законами сохранения энергии, так как речь идет об абсолютно упругом столкновении.

Данные:

• Массы шаров: \( m_1 = 1 \, \text{кг} \), \( m_2 = 3 \, \text{кг} \)
• Скорости до удара: \( v_1 = 5 \, \text{м/с} \) (шар 1), \( v_2 = 2 \, \text{м/с} \) (шар 2)

Случай 1: Шары движутся навстречу друг другу

Рассмотрим, что первый шар движется вправо, а второй влево:

• Скорость шар 2 будет отрицательной: \( v_2 = -2 \, \text{м/с} \)

Для абсолютно упругого столкновения выполняются следующие уравнения:

1. Закон сохранения импульса: \[ m_1 v_1 + m_2 v_2 = m_1 v_1' + m_2 v_2' \] где \( v_1' \) и \( v_2' \) — скорости после удара.

2. Закон сохранения энергии: \[ \frac{1}{2} m_1 v_1^2 + \frac{1}{2} m_2 v_2^2 = \frac{1}{2} m_1 (v_1')^2 + \frac{1}{2} m_2 (v_2')^2 \]

Подставив значения, получаем:

1. Импульс: \[ 1 \cdot 5 + 3 \cdot (-2) = 1 \cdot v_1' + 3 \cdot v_2' \] \[ 5 - 6 = v_1' + 3v_2' \quad \Rightarrow \quad -1 = v_1' + 3v_2' \quad (1) \]

2. Энергия: \[ \frac{1}{2} \cdot 1 \cdot 5^2 + \frac{1}{2} \cdot 3 \cdot (-2)^2 = \frac{1}{2} \cdot 1 \cdot (v_1')^2 + \frac{1}{2} \cdot 3 \cdot (v_2')^2 \] \[ \frac{1}{2} \cdot 1 \cdot 25 + \frac{1}{2} \cdot 3 \cdot 4 = \frac{1}{2} (v_1')^2 + \frac{3}{2} (v_2')^2 \] \[ 12.5 + 6 = \frac{1}{2} (v_1')^2 + \frac{3}{2} (v_2')^2 \quad \Rightarrow \quad 18.5 = \frac{1}{2} (v_1')^2 + \frac{3}{2} (v_2')^2 \quad (2) \]

Теперь необходимо решить систему уравнений \( (1) \) и \( (2) \):

Из (1) выразим \( v_1' \): \[ v_1' = -1 - 3v_2' \quad (3) \]

Теперь подставим \( v_1' \) из (3) в (2): \[ 18.5 = \frac{1}{2} (-1 - 3v_2')^2 + \frac{3}{2} (v_2')^2 \] Решив это уравнение, можно будет найти скорости после удара.

Случай 2: Один шар догоняет другой

В этом случае шар 1 (масса 1 кг) движется со скоростью 5 м/с, а шар 2 (масса 3 кг) имеет скорость 2 м/с и движется в том же направлении.

В данном случае второе уравнение остаётся тем же, но скорости будут положительными:

1. Импульс: \[ 1 \cdot 5 + 3 \cdot 2 = 1 \cdot v_1' + 3 \cdot v_2' \] \[ 5 + 6 = v_1' + 3v_2' \quad \Rightarrow \quad 11 = v_1' + 3v_2' \quad (4) \]

2. Энергия: \[ \frac{1}{2} \cdot 1 \cdot 5^2 + \frac{1}{2} \cdot 3 \cdot 2^2 = \frac{1}{2} (v_1')^2 + \frac{3}{2} (v_2')^2 \] \[ \frac{1}{2} \cdot 25 + \frac{1}{2} \cdot 3 \cdot 4 = \frac{1}{2} (v_1')^2 + \frac{3}{2} (v_2')^2 \] \[ 12.5 + 6 = \frac{1}{2} (v_1')^2 + \frac{3}{2} (v_2')^2 \] \[ 18.5 = \frac{1}{2} (v_1')^2 + \frac{3}{2} (v_2')^2 \quad (5) \]

Аналогично решаем систему уравнений \( (4) \) и \( (5) \) для нахождения новых скоростей.

Для каждого случая получится система уравнений, которую разрешив, мы найдем скорости шаров после удара.