Решите уравнение a) 9 - 5x = 11 - 4x 6) 3(7x - 2) = 4x - 6 B) 5x ^ 2 + 10x = 0 8) r) 2x ^ 2 + 3x + 4 = 0 2. Решите систему уравнений: 4x + y = 10 ,\\ x+3y=-3. 3. Решите неравенство a) 5x > 35 6) 2(1 - x) > x - 3 1 - 5x < 11; 6x - 18 < 0 4. Решите систему неравенств: 5. Решите дробно- рациональное уравнение (2x ^ 2 - 5x + 2)/(x ^ 2 - 4) = 0 6. Решите квадратное неравенство 5x ^ 2 <= 16x - 3 7. У Кати 12 монет по 2 руб. и по 5 руб. Сколько у неё двухрублёвых и сколько пятирублёвых монет, если всего у неё 36 руб?

Давайте поочередно решим все предоставленные задачи.

1. Решите уравнения:

a) 9 - 5x = 11 - 4x

Переносим все термины с x в одну сторону, а постоянные в другую:

\( -5x + 4x = 11 - 9 \)
\( -x = 2 \)
\( x = -2 \)

Ответ: \( x = -2 \)

b) 3(7x - 2) = 4x - 6

Распределим 3 по скобкам:

\( 21x - 6 = 4x - 6 \)

Переносим \( 4x \) влево, а \( -6 \) вправо:

\( 21x - 4x = -6 + 6 \)
\( 17x = 0 \)
\( x = 0 \)

Ответ: \( x = 0 \)

c) 5x^2 + 10x = 0

Вынесем общий множитель:

\( 5x(x + 2) = 0 \)

Приравняем каждый множитель к нулю:

1. \( 5x = 0 \) → \( x = 0 \)
2. \( x + 2 = 0 \) → \( x = -2 \)

Ответ: \( x = 0 \) или \( x = -2 \)

d) 2x^2 + 3x + 4 = 0

Для решения этого квадратного уравнения используем дискриминант:

\( D = b^2 - 4ac = 3^2 - 4 \cdot 2 \cdot 4 = 9 - 32 = -23 \)

Так как дискриминант отрицательный, у уравнения нет действительных корней.

Ответ: действительных корней нет.

2. Решите систему уравнений:

4x + y = 10
x + 3y = -3

Решим первое уравнение относительно y:

\( y = 10 - 4x \)

Подставим это выражение во второе уравнение:

\( x + 3(10 - 4x) = -3 \)
\( x + 30 - 12x = -3 \)
\( -11x + 30 = -3 \)
\( -11x = -3 - 30 \)
\( -11x = -33 \)
\( x = 3 \)

Теперь найдём y:

\( y = 10 - 4(3) = 10 - 12 = -2 \)

Ответ: \( x = 3, y = -2 \)

3. Решите неравенства:

a) 5x > 35

Делим обе стороны на 5:

\( x > 7 \)

Ответ: \( x > 7 \)

b) 2(1 - x) > x - 3

Раскроем скобки:

\( 2 - 2x > x - 3 \)
\( 2 + 3 > 2x + x \)
\( 5 > 3x \)
\( x < \frac{5}{3} \)

Ответ: \( x < \frac{5}{3} \)

c) 1 - 5x < 11

Преобразуем неравенство:

\( -5x < 11 - 1 \)
\( -5x < 10 \)

Теперь делим обе стороны на -5 (неравенство меняет знак):

\( x > -2 \)

Ответ: \( x > -2 \)

d) 6x - 18 < 0

\( 6x < 18 \)
\( x < 3 \)

Ответ: \( x < 3 \)

4. Решите систему неравенств:

Мы уже решили их на предыдущем шаге. Объединим результаты:

1. \( x > 7 \)

2. \( x < \frac{5}{3} \) – не может выполняться одновременно, поскольку не существует \( x \), которое больше 7 и меньше \(\frac{5}{3}\).

3. \( x > -2 \)– это все значения, больше -2.

4. \( x < 3 \)– это все значения, меньше 3.

Система неравенств также не имеет решения, потому что нет \( x \), которое удовлетворяет всем условиям одновременно.

5. Решите дробно-рациональное уравнение:

\((2x^2 - 5x + 2)/(x^2 - 4) = 0\)

У дробно-рационального уравнения будет равенство нулю, если числитель равен нулю.

Решим уравнение \( 2x^2 - 5x + 2 = 0 \) с помощью дискриминанта:

\( D = (-5)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 2 = 25 - 16 = 9 \)

Теперь используем корни:

\( x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} \)

\( x_{1,2} = \frac{5 \pm 3}{4} \)

Корни:

1. \( x_1 = \frac{8}{4} = 2 \)
2. \( x_2 = \frac{2}{4} = \frac{1}{2} \)

Теперь проверим, что \( x \neq \pm 2 \), поскольку это значения, которые делают знаменатель равным нулю (из условия \( x^2 - 4 \)).

Ответ: \( x = 2 \) или \( x = \frac{1}{2} \)

6. Решите квадратное неравенство:

5x^2 <= 16x - 3

Переписывам в стандартной форме:

\( 5x^2 - 16x + 3 \leq 0 \)

Решим это уравнение с помощью дискриминанта:

\( D = (-16)^2 - 4 \cdot 5 \cdot 3 = 256 - 60 = 196 \)

Корни:

\( x_{1,2} = \frac{16 \pm 14}{10} \)

1. \( x_1 = \frac{30}{10} = 3 \)
2. \( x_2 = \frac{2}{10} = 0.2 \)

Теперь у нас есть корни: \( x = 0.2 \) и \( x = 3 \). Применим метод интервалов, чтобы определить, в каких интервалах дробь будет меньше или равна нулю:

• \( (-\infty, 0.2) \): здесь значение положительное.
• \( (0.2, 3) \): на этом интервале значение отрицательное.
• \( (3, +\infty) \): здесь также значение положительное.

Неравенство выполняется на интервале \( [0.2, 3] \).

Ответ: \( [0.2, 3] \)

7. У Кати 12 монет по 2 руб. и по 5 руб. Сколько у неё двухрублёвых и сколько пятирублёвых монет, если всего у неё 36 руб?

Обозначим количество двухрублевых монет как \( x \), а пятирублевых как \( y \).

Составим систему уравнений:

1. \( x + y = 12 \) (всего монет)
2. \( 2x + 5y = 36 \) (всего рублей)

Решим первую систему. Выразим \( y \) из первого уравнения:

\( y = 12 - x \)

Подставим во второе уравнение:

\( 2x + 5(12 - x) = 36 \)
\( 2x + 60 - 5x = 36 \)
\( -3x + 60 = 36 \)
\( -3x = 36 - 60 \)
\( -3x = -24 \)
\( x = 8 \)

Теперь найдём \( y \):

\( y = 12 - 8 = 4 \)

Ответ: 8 двухрублёвых и 4 пятирублёвых монеты.