На множестве действительных чисел определим отношение (a- b) € Q. Докажите, что w эквивалентность.

Чтобы доказать, что отношение \(a \sim b\), заданное как \((a - b) \in \mathbb{Q}\), является отношением эквивалентности на множестве действительных чисел \(\mathbb{R}\), нам нужно показать, что оно удовлетворяет трем свойствам эквивалентности: рефлексивности, симметричности и транзитивности.

1. Рефлексивность: Для любого \(a \in \mathbb{R}\) мы имеем \(a - a = 0\). Поскольку \(0\) является рациональным числом (\(0 \in \mathbb{Q}\)), то \(a \sim a\). Таким образом, отношение рефлексивно.

2. Симметричность: Для любых \(a, b \in \mathbb{R}\), если \(a \sim b\), то \((a - b) \in \mathbb{Q}\). Это означает, что существует некоторое рациональное число \(q\), такое что \(a - b = q\). Тогда \(b - a = -q\). Поскольку отрицание рационального числа также является рациональным, мы имеем, что \((b - a) \in \mathbb{Q}\). Таким образом, если \(a \sim b\), то \(b \sim a\). Следовательно, отношение симметрично.

3. Транзитивность: Для любых \(a, b, c \in \mathbb{R}\), допустим, что \(a \sim b\) и \(b \sim c\). Это означает, что \((a - b) \in \mathbb{Q}\) и \((b - c) \in \mathbb{Q}\). Обозначим \(a - b = q_1\) и \(b - c = q_2\), где \(q_1, q_2 \in \mathbb{Q}\). Тогда сумма \(a - c\) может быть записана как:

\[ a - c = (a - b) + (b - c) = q_1 + q_2. \]

Поскольку сумма двух рациональных чисел всегда является рациональным числом, то \(a - c \in \mathbb{Q}\). Это означает, что \(a \sim c\). Таким образом, отношение транзитивно.

Поскольку мы показали, что заданное отношение удовлетворяет всем трем свойствам (рефлексивность, симметричность и транзитивность), можем заключить, что отношение \(a \sim b\) является отношением эквивалентности на множестве действительных чисел \(\mathbb{R}\).