. Бинарное отношение (a,b)w(c,d) a - b = c - d задано на множестве пар действительных чисел. Выясните, является ли оно отношением эквивалентности.
Чтобы определить, является ли заданное бинарное отношение \( (a,b) \sim (c,d) \) эквивалентностью, необходимо проверить три основных свойства: рефлексивность, симметричность и транзитивность.
Рефлексивность: Для любого элемента \( (a, b) \) должно выполняться \( (a,b) \sim (a,b) \). Подставляем в выражение: \[ a - b = a - b \] Это равенство всегда истинно, следовательно, отношение рефлексивно.
Симметричность: Если \( (a, b) \sim (c, d) \), то должно выполняться \( (c,d) \sim (a,b) \). Это значит, что если \( a - b = c - d \), то должно также выполняться \( c - d = a - b \). Это равенство также всегда истинно, следовательно, отношение симметрично.
Транзитивность: Если \( (a, b) \sim (c, d) \) и \( (c, d) \sim (e, f) \), то должно выполняться \( (a, b) \sim (e, f) \). То есть, если \( a - b = c - d \) и \( c - d = e - f \), то можно заключить, что \( a - b = e - f \). Это также всегда верно, следовательно, отношение транзитивно.
Поскольку отношение удовлетворяет всем трем свойствам (рефлексивности, симметричности и транзитивности), мы можем заключить, что бинарное отношение \( (a,b) \sim (c,d) \), где \( a - b = c - d \), является отношением эквивалентности.
