8x-x²≤0

Чтобы решить неравенство \(8x - x^2 \leq 0\), давайте сначала перепишем его в стандартной форме:

\(-x^2 + 8x \leq 0\).

Теперь мы можем привести его к более удобному виду, переместив все термы на одну сторону:

\(x^2 - 8x \geq 0\).

Следующий шаг — выделить общий множитель:

\(x(x - 8) \geq 0\).

Теперь нам нужно найти решения этого неравенства. Для этого определим нули:

1. \(x = 0\)
2. \(x - 8 = 0\) => \(x = 8\)

Теперь у нас есть два нуля: \(x = 0\) и \(x = 8\). Эти точки разбивают числовую линию на три интервала:

1. \( (-\infty, 0) \)
2. \( (0, 8) \)
3. \( (8, +\infty) \)

Теперь мы будем проверять знак произведения \(x(x - 8)\) на каждом из этих интервалов:

1. На интервале \((-∞, 0)\): возьмём, например, \(x = -1\).
   \( (-1)(-1 - 8) = (-1)(-9) = 9 \geq 0\) — положительное значение.

2. На интервале \((0, 8)\): возьмём, например, \(x = 1\).
   \( (1)(1 - 8) = (1)(-7) = -7 < 0\) — отрицательное значение.

3. На интервале \((8, +∞)\): возьмём, например, \(x = 9\).
   \( (9)(9 - 8) = (9)(1) = 9 \geq 0\) — положительное значение.

Теперь мы соберём результаты:

• На интервале \((-∞, 0)\) — неравенство выполняется.
• На интервале \((0, 8)\) — неравенство не выполняется.
• На интервале \((8, +∞)\) — неравенство выполняется.

Не забываем о краевых точках \(x=0\) и \(x=8\), так как у нас стоит знак «равно» в неравенстве. Таким образом:

• \(x = 0\) и \(x = 8\) также удовлетворяют неравенству.

Ответом на неравенство \(8x - x^2 \leq 0\) будет:

\[ x \in (-\infty, 0] \cup [8, +\infty). \]