Найти интервалы возрастания, убывания и экстремумы функции y=x2+3x-4/x-2

Давайте разберемся с функцией \( y = \frac{x^2 + 3x - 4}{x - 2} \) и найдем интервалы возрастания, убывания и экстремумы.

1. Найдем производную функции

Сначала определим производную данной функции, используя правило частного: \[ y' = \frac{(u'v - uv')}{v^2} \] где \( u = x^2 + 3x - 4 \) и \( v = x - 2 \).

Находим производные \( u' \) и \( v' \):

• \( u' = 2x + 3 \)
• \( v' = 1 \)

Теперь подставим в формулу: \[ y' = \frac{(2x + 3)(x - 2) - (x^2 + 3x - 4)(1)}{(x - 2)^2} \]

2. Упростим производную

Раскроем скобки в числителе: \[ y' = \frac{2x^2 - 4x + 3x - 6 - (x^2 + 3x - 4)}{(x - 2)^2} \] \[ = \frac{2x^2 - 4x + 3x - 6 - x^2 - 3x + 4}{(x - 2)^2} \] \[ = \frac{x^2 - 5x - 2}{(x - 2)^2} \]

3. Найдем критические точки

Для нахождения критических точек приравняем \( y' = 0 \): \[ x^2 - 5x - 2 = 0 \] Используем формулу корней квадратного уравнения: \[ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} = \frac{5 \pm \sqrt{25 + 8}}{2} = \frac{5 \pm \sqrt{33}}{2} \]

Критические точки:

1. \( x_1 = \frac{5 + \sqrt{33}}{2} \)
2. \( x_2 = \frac{5 - \sqrt{33}}{2} \)

4. Анализ изменяемости функции

Теперь определим интервалы возрастания и убывания, проверяя знак производной на интервалах, образованных критическими точками и точкой, где функция неопределенна (где \( x = 2 \)).

• Интервалы: \( (-\infty, x_2) \), \( (x_2, 2) \), \( (2, x_1) \), \( (x_1, +\infty) \)

Выбираем тестовые точки из каждого интервала и подставляем их в производную \( y' \), чтобы определить знак:

1. \( x < x_2 \) — например, \( x = 0 \): \( y' > 0 \) (возрастает)
2. \( x_2 < x < 2 \) — например, \( x = 1 \): \( y' < 0 \) (убывает)
3. \( 2 < x < x_1 \) — например, \( x = 3 \): \( y' > 0 \) (возрастает)
4. \( x > x_1 \) — например, \( x = 4 \): \( y' < 0 \) (убывает)

5. Результаты

• Интервал возрастания: \( (-\infty, x_2) \) и \( (2, x_1) \)
• Интервал убывания: \( (x_2, 2) \) и \( (x_1, +\infty) \)
• Экстремумы:
  • Минимум в точке \( x_2 = \frac{5 - \sqrt{33}}{2} \)
  • Максимум в точке \( x_1 = \frac{5 + \sqrt{33}}{2} \)

Теперь вы знаете, как находить интервалы возрастания и убывания, а также экстремумы функции! Если есть дополнительные вопросы, обращайтесь!