Инфинитив — это неопределённая форма глагола, которая отвечает на вопрос "что делать?".
Рассмотрим предложенные варианты:
Она начала петь. - Здесь инфинитив "петь" является дополнением (что она начала? - петь).
Друг попросил меня открыть окно. - Инфинитив "открыть" также является дополнением (что попросил? - открыть).
У меня было желание поздороваться с ней. - Инфинитив "поздороваться" здесь является дополнением (что сделать? - поздороваться).
Мы вышли на улицу прогуляться. - Инфинитив "прогуляться" также выступает в роли обстоятельства (зачем вышли? - прогуляться).
Жизнь прожить — не поле перейти. - В этом предложении инфинитив "прожить" является составной частью предложения и выполняет роль подлежащего в первой части.
Не потеряться бы. - Тут инфинитив "потеряться" является частью сложного сказуемого, которое подразумевает действие.
Таким образом, в каждом из предложений инфинитив выполняет разные функции: может быть дополнением, обстоятельством или частью сказуемого. Если вам нужно более глубокое объяснение или есть вопросы, не стесняйтесь спрашивать!