дан квадратный трёхчлен 1/4x² + 2x - 1. Определите, при каком значении x он принимает наименьшее значение и найдите это значение

Для нахождения наименьшего значения квадратного трёхчлена \( f(x) = \frac{1}{4}x^2 + 2x - 1 \), мы можем использовать свойства параболы, так как этот трёхчлен имеет форму \( ax^2 + bx + c \), где \( a = \frac{1}{4} \), \( b = 2 \) и \( c = -1 \).

Парабола, заданная этим уравнением, открывается вверх, так как коэффициент \( a \) положителен. Наименьшее значение функции достигается в её вершине. Координата \( x \) вершины параболы вычисляется по формуле:

\[ x = -\frac{b}{2a} \]

Подставим наши значения:

\[ x = -\frac{2}{2 \cdot \frac{1}{4}} = -\frac{2}{\frac{1}{2}} = -4 \]

Теперь подставим найденное значение \( x \) обратно в функцию для нахождения наименьшего значения:

\[ f(-4) = \frac{1}{4}(-4)^2 + 2(-4) - 1 \]

Выполним вычисления:

\[ f(-4) = \frac{1}{4} \cdot 16 - 8 - 1 = 4 - 8 - 1 = -5 \]

Таким образом, наименьшее значение квадратного трёхчлена \( f(x) \) достигается при \( x = -4 \), а само значение функции в этой точке равно \( -5 \).

Ответ: наименьшее значение достигается при \( x = -4 \), , значение функции в этой точке равно \( -5 \).