z=x²y-4x√y-6y²+5 найти Zx, Zy, Zxx, Zyy, Zxy, Zyx
Чтобы найти частные производные функции \( z = x^2y - 4x\sqrt{y} - 6y^2 + 5 \), выполним следующие шаги.
1. Найдем частную производную \( Z_x \):
Для этого будем считать \( y \) константой и найдем производную по \( x \):
\[ Z_x = \frac{\partial z}{\partial x} = \frac{\partial}{\partial x}(x^2y) - \frac{\partial}{\partial x}(4x\sqrt{y}) - \frac{\partial}{\partial x}(6y^2) + \frac{\partial}{\partial x}(5) \]
\[ Z_x = 2xy - 4\sqrt{y} - 0 + 0 = 2xy - 4\sqrt{y} \]
2. Найдем частную производную \( Z_y \):
Теперь будем считать \( x \) константой и найдем производную по \( y \):
\[ Z_y = \frac{\partial z}{\partial y} = \frac{\partial}{\partial y}(x^2y) - \frac{\partial}{\partial y}(4x\sqrt{y}) - \frac{\partial}{\partial y}(6y^2) + \frac{\partial}{\partial y}(5) \]
\[ Z_y = x^2 - \frac{4x}{2\sqrt{y}} - 12y + 0 = x^2 - \frac{2x}{\sqrt{y}} - 12y \]
3. Найдем вторую частную производную \( Z_{xx} \):
Теперь находим производную \( Z_x \) по \( x \):
\[ Z_{xx} = \frac{\partial}{\partial x}(2xy - 4\sqrt{y}) = 2y - 0 = 2y \]
4. Найдем вторую частную производную \( Z_{yy} \):
Теперь находим производную \( Z_y \) по \( y \):
\[ Z_{yy} = \frac{\partial}{\partial y}\left(x^2 - \frac{2x}{\sqrt{y}} - 12y\right) = 0 + \frac{2x}{2y^{3/2}} - 12 = \frac{x}{y^{3/2}} - 12 \]
5. Найдем смешанную частную производную \( Z_{xy} \):
Теперь найдем производную \( Z_x \) по \( y \):
\[ Z_{xy} = \frac{\partial}{\partial y}(2xy - 4\sqrt{y}) = 2x - \frac{4}{2\sqrt{y}} = 2x - \frac{2}{\sqrt{y}} \]
6. Найдем смешанную частную производную \( Z_{yx} \):
Теперь найдем производную \( Z_y \) по \( x \):
\[ Z_{yx} = \frac{\partial}{\partial x}\left(x^2 - \frac{2x}{\sqrt{y}} - 12y\right) = 2x - \frac{2}{\sqrt{y}} - 0 = 2x - \frac{2}{\sqrt{y}} \]
Резюме:
- \( Z_x = 2xy - 4\sqrt{y} \)
- \( Z_y = x^2 - \frac{2x}{\sqrt{y}} - 12y \)
- \( Z_{xx} = 2y \)
- \( Z_{yy} = \frac{x}{y^{3/2}} - 12 \)
- \( Z_{xy} = 2x - \frac{2}{\sqrt{y}} \)
- \( Z_{yx} = 2x - \frac{2}{\sqrt{y}} \)
Если у вас есть дополнительные вопросы или нужна помощь с другим материалом, не стесняйтесь спрашивать!
