Игральный кубик бросили два раза. Событие 𝐴 A — «при втором броске выпало меньше очков», событие 𝐵 B — «сумма выпавших очков больше 5 5». Составь таблицу случайного эксперимента и найди 𝑃 ( 𝐴 ∩ 𝐵 ) P(A∩B).
Для решения этой задачи начнём с того, что мы проведем случайный эксперимент — бросим игральный кубик два раза. Каждое бросание может дать одно из шести значений (от 1 до 6).
Составление таблицы возможных исходов: Мы можем представить все возможные исходы бросков кубика в виде таблицы, где в строках будут результаты первого броска, а в столбцах — результаты второго броска.
Таблица будет выглядеть следующим образом:
1 2 3 4 5 6 1 (1,1) (1,2) (1,3) (1,4) (1,5) (1,6) 2 (2,1) (2,2) (2,3) (2,4) (2,5) (2,6) 3 (3,1) (3,2) (3,3) (3,4) (3,5) (3,6) 4 (4,1) (4,2) (4,3) (4,4) (4,5) (4,6) 5 (5,1) (5,2) (5,3) (5,4) (5,5) (5,6) 6 (6,1) (6,2) (6,3) (6,4) (6,5) (6,6) Таким образом, общее количество возможных исходов = 6 (первый бросок) × 6 (второй бросок) = 36.
Определение событий A и B:
- Событие \( A \): «при втором броске выпало меньше очков». Это означает, что второй бросок должен быть меньше первого.
- Событие \( B \): «сумма выпавших очков больше 5». Здесь мы рассматриваем все пары, у которых сумма первого и второго броска больше 5.
Поиск событий:
Для события \( A \):
- Пары, удовлетворяющие условию \( A \):
- (2,1), (3,1), (3,2), (4,1), (4,2), (4,3), (5,1), (5,2), (5,3), (5,4), (6,1), (6,2), (6,3), (6,4), (6,5).
- Всего 15 успешных исходов.
- Пары, удовлетворяющие условию \( A \):
Для события \( B \):
- Пары, сумма которых больше 5:
- (1,5), (1,6), (2,4), (2,5), (2,6), (3,3), (3,4), (3,5), (3,6), (4,2), (4,3), (4,4), (4,5), (4,6), (5,1), (5,2), (5,3), (5,4), (5,5), (5,6), (6,1), (6,2), (6,3), (6,4), (6,5), (6,6).
- Всего 21 успешный исход.
- Пары, сумма которых больше 5:
Пересечение событий \( A \cap B \): Теперь нужно найти пары, которые одновременно удовлетворяют обоим условиям. Мы можем проверить каждую пару, которая соответствует событию \( A \) и проверить, соответствует ли она событию \( B \):
- Проверяя пары из события \( A \):
- (3,2) — сумма 5 (не подходит);
- (4,1) — сумма 5 (не подходит);
- (4,2) — сумма 6 (подходит);
- (5,1) — сумма 6 (подходит);
- (5,2) — сумма 7 (подходит);
- (6,1) — сумма 7 (подходит);
- (6,2) — сумма 8 (подходит);
- (6,3) — сумма 9 (подходит);
- (6,4) — сумма 10 (подходит);
- (6,5) — сумма 11 (подходит).
Таким образом, составные пары для \( A \cap B \): (4,2), (5,1), (5,2), (6,1), (6,2), (6,3), (6,4), (6,5). Всего 8 пар.
- Проверяя пары из события \( A \):
Вероятность \( P(A \cap B) \): Используя формулу вероятности: \[ P(A \cap B) = \frac{\text{число благоприятных исходов}}{\text{общее число исходов}} = \frac{8}{36} = \frac{2}{9}. \]
Таким образом, вероятность события \( P(A \cap B) \) равна \( \frac{2}{9} \).
