Пусть заданы декартовы координаты точек А(-1;1) В(-2;3) D(-4;2) Тогда для полярных координат этих точек А, B, D справедливы утверждения : 1. φа<φd 2. Ра>2 3. Ра * sinφa >Pb * cosφb

Чтобы перейти от декартовых координат к полярным, нужно использовать следующие формулы:

1. \( R = \sqrt{x^2 + y^2} \) — радиус (расстояние от начала координат).
2. \( \phi = \arctan\left(\frac{y}{x}\right) \) — угол, который точка образует с положительной осью X.

Давайте рассмотрим каждую из заданных точек.

Для точки A(-1; 1):

• Радиус: \[ R_a = \sqrt{(-1)^2 + 1^2} = \sqrt{1 + 1} = \sqrt{2} \]
• Угол: \[ \phi_a = \arctan\left(\frac{1}{-1}\right) = \arctan(-1) = \frac{3\pi}{4} \text{ (или } 135^\circ \text{, поскольку точка находится во втором квадранте)} \]

Для точки B(-2; 3):

• Радиус: \[ R_b = \sqrt{(-2)^2 + 3^2} = \sqrt{4 + 9} = \sqrt{13} \]
• Угол: \[ \phi_b = \arctan\left(\frac{3}{-2}\right) + \pi \text{ (потому что точка также во втором квадранте)} = \arctan\left(\frac{3}{2}\right) + \pi \]

Для точки D(-4; 2):

• Радиус: \[ R_d = \sqrt{(-4)^2 + 2^2} = \sqrt{16 + 4} = \sqrt{20} \]
• Угол: \[ \phi_d = \arctan\left(\frac{2}{-4}\right) + \pi = \arctan\left(\frac{1}{-2}\right) + \pi \]

Теперь проанализируем утверждения:

1. \( \phi_a < \phi_d \):

   • \( \phi_a = \frac{3\pi}{4} \) и \( \phi_d\) определяем по вышеуказанному принципу, но его значение меньше, чем \( \phi_a \), поскольку находимся во втором квадранте. Следовательно, это утверждение не верно, если углы измеряются в стандартной системе.

2. \( R_a > 2 \):

   • \( R_a = \sqrt{2} \approx 1.41 < 2 \), значит, это утверждение неверно.

3. \( R_a \cdot \sin(\phi_a) > R_b \cdot \cos(\phi_b) \):

   • Вычисляем:
   • \( \sin(\phi_a) = \sin\left(\frac{3\pi}{4}\right) = \frac{\sqrt{2}}{2} \)
   • \( R_a \cdot \sin(\phi_a) = \sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 1 \)
   • Для B:
   • \( \cos(\phi_b) = -\frac{2}{\sqrt{13}} \), следовательно \( R_b \cdot \cos(\phi_b) = \sqrt{13} \cdot -\frac{2}{\sqrt{13}} = -2 \)
   • Таким образом: \( 1 > -2 \), это утверждение верно.

Результаты:

• Первое утверждение: неверно
• Второе утверждение: неверно
• Третье утверждение: верно

Если искусство работы с полярными координатами требует дополнительных разъяснений, пожалуйста, дайте знать!