Катя проводит многочисленную серию опытов. В каждом опыте она бросает игральный кубик до тех пор, пока не выпадет 3 или 6 очков. Количество бросков в каждом эксперименте Катя записала в таблицу и построила гистограмму по ланным этой таблицы. По горизонтали отмечено число понадобившихся бросков, а по вертикали - частота. а) Какова доля случаев, когда 3 или 6 очков выпадало с первого или со второго раза? б) Пользуясь диаграммой, оцените примерно, сколько было случаев из 1000, когда 3 или 6 очков выпадало при четвертом броске.

Для решения задачи начнем с определения вероятности выпадения 3 или 6 очков при броске игрального кубика. Поскольку на кубике 6 граней, вероятность выпадения 3 или 6 равна:

\[ P(3 \text{ или } 6) = P(3) + P(6) = \frac{1}{6} + \frac{1}{6} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}. \]

Следовательно, вероятность того, что 3 или 6 не выпадет на одном броске, равна:

\[ P(\text{не } 3 \text{ и не } 6) = 1 - P(3 \text{ или } 6) = 1 - \frac{1}{3} = \frac{2}{3}. \]

а) Доля случаев, когда 3 или 6 выпадает с первого или со второго раза

1. Первый бросок: вероятность того, что 3 или 6 выпадает с первого броска, равна \( P(3 \text{ или } 6) = \frac{1}{3} \).

2. Второй бросок: чтобы не выпало 3 или 6 на первом броске (вероятность \( \frac{2}{3} \)), а на втором выпал 3 или 6 (вероятность \( \frac{1}{3} \)), вероятность этого события равна:

\[ P(\text{не } 3 \text{ и не } 6 на 1} \text{, 3 или 6 на 2}) = \frac{2}{3} \cdot \frac{1}{3} = \frac{2}{9}. \]

Итак, вероятность того, что 3 или 6 выпадает либо на первом, либо на втором броске, будет равна:

\[ P(3 \text{ или } 6 на 1) + P(\text{не } 3 \text{ и не } 6 на 1, 3 \text{ или } 6 на 2) = \frac{1}{3} + \frac{2}{9}. \]

Чтобы сложить дроби, приведем их к общему знаменателю 9:

\[ \frac{1}{3} = \frac{3}{9}, \] поэтому:

\[ P(3 \text{ или } 6 на 1 или 2) = \frac{3}{9} + \frac{2}{9} = \frac{5}{9}. \]

Таким образом, доля случаев, когда 3 или 6 выпадает с первого или со второго раза, составляет \( \frac{5}{9} \).

б) Оцените количество случаев из 1000, когда 3 или 6 очков выпадало при четвертом броске

Чтобы выпало 3 или 6 именно на четвертом броске (т.е. не выпало 3 или 6 на первых трех бросках и выпало на четвертом), необходимо:

1. Не выпало 3 или 6 на первых трех бросках: вероятность \( \left(\frac{2}{3}\right)^3 = \frac{8}{27} \).
2. Выпало 3 или 6 на четвертом броске: вероятность \( \frac{1}{3} \).

Полная вероятность того, что 3 или 6 выпадет на четвертом броске, равна:

\[ P(3 \text{ или } 6 на 4) = \left(\frac{2}{3}\right)^3 \cdot \frac{1}{3} = \frac{8}{27} \cdot \frac{1}{3} = \frac{8}{81}. \]

Теперь мы можем оценить количество случаев из 1000:

\[ N = 1000 \cdot \frac{8}{81} \approx 98.77. \]

Таким образом, можно ожидать, что примерно 99 случаев из 1000 будут такими, когда 3 или 6 выпало на четвертом броске.