Непрерывная функция S(X) является первообразной для функции s(X) на множестве всех действительнвх чисел.найдите промежуток монотонности функции S(X),если s(X)=-x²+1
Чтобы определить промежуток монотонности функции \( S(X) \), которая является первообразной для функции \( s(X) = -x^2 + 1 \), сначала найдем производную функции \( S(X) \) и исследуем, где она положительна или отрицательна.
Найдем аргумент производной: Поскольку \( S(X) \) является первообразной для \( s(X) \), имеем \( S'(X) = s(X) = -x^2 + 1 \).
Исследуем функцию \( s(X) \): Чтобы понять, когда \( S'(X) \) положительна или отрицательна, рассмотрим уравнение: \[ s(X) = -x^2 + 1 = 0 \]
Решим это уравнение: \[ -x^2 + 1 = 0 \Rightarrow x^2 = 1 \Rightarrow x = 1 \text{ или } x = -1 \]
Анализ знаков: Теперь исследуем знак функции \( s(X) \) на интервалах, определяемых корнями \( x = -1 \) и \( x = 1 \):
- Для \( x < -1 \): Например, подставим \( x = -2 \): \[ s(-2) = -(-2)^2 + 1 = -4 + 1 = -3 < 0 \quad (\text{убывающая}) \]
- Для \( -1 < x < 1 \): Например, подставим \( x = 0 \): \[ s(0) = -0^2 + 1 = 1 > 0 \quad (\text{возрастающая}) \]
- Для \( x > 1 \): Например, подставим \( x = 2 \): \[ s(2) = -2^2 + 1 = -4 + 1 = -3 < 0 \quad (\text{убывающая}) \]
Выводы о монотонности: Таким образом, \( S(X) \) будет:
- Увеличиваться на интервале \( (-1, 1) \) (где \( s(X) > 0 \)).
- Уменьшаться на интервалах \( (-\infty, -1) \) и \( (1, +\infty) \) (где \( s(X) < 0 \)).
Итог: Функция \( S(X) \) возрастает на интервале \( (-1, 1) \) и убывает на интервалах \( (-\infty, -1) \) и \( (1, +\infty) \).
