(-2)⁸•5³ _________ 5⁴•2¹⁰•10

Для решения выражения \((-2)^{8} \cdot 5^{3} \div (5^{4} \cdot 2^{10} \cdot 10)\), давайте начнем с вычисления отдельных частей.

Сначала упростим \((-2)^{8}\): \[ (-2)^{8} = 256. \]

Теперь вычислим \(5^{3}\): \[ 5^{3} = 125. \]

Теперь умножим эти два результата: \[ 256 \cdot 125. \] Чтобы умножить эти числа, удобно воспользоваться разложением: \[ 256 \cdot 125 = 32000. \]

Следующий шаг - упростить знаменатель \(5^{4} \cdot 2^{10} \cdot 10\):

Сначала вычислим \(5^{4}\): \[ 5^{4} = 625. \]

Теперь вычислим \(2^{10}\): \[ 2^{10} = 1024. \]

Затем учтем \(10 = 2 \cdot 5\), так что мы можем выразить \(10\) как \(2^{1} \cdot 5^{1}\). Таким образом в знаменателе у нас будет: \[ 5^{4} \cdot 2^{10} \cdot 10 = 625 \cdot 1024 \cdot (2 \cdot 5) = 625 \cdot 1024 \cdot 2 \cdot 5. \]

Теперь соберем все вместе: \[ 625 \cdot 1024 \cdot 2 \cdot 5 = 625 \cdot 1024 \cdot 10. \]

Теперь давайте упростим полный знаменатель \(625 \cdot 10240\):

Выполним умножение: \[ 625 \cdot 10240 = 6400000. \]

Теперь поделим числитель на знаменатель: \[ \frac{32000}{6400000} = \frac{1}{200}. \]

Таким образом, окончательный ответ: \[ \frac{1}{200}. \]