Lim x^2-2x-15/x^2-9 x->-3

Для нахождения предела функции \( \frac{x^2 - 2x - 15}{x^2 - 9} \) при \( x \to -3 \), начнем с подстановки значения \( x = -3 \):

1. Рассчитаем числитель:

\[ x^2 - 2x - 15 = (-3)^2 - 2(-3) - 15 = 9 + 6 - 15 = 0. \]

2. Теперь рассчитаем знаменатель:

\[ x^2 - 9 = (-3)^2 - 9 = 9 - 9 = 0. \]

Таким образом, мы имеем неопределенность вида \( \frac{0}{0} \). Для решения этого предела нам нужно упростить дробь.

3. Разложим числитель \( x^2 - 2x - 15 \) на множители:

\[ x^2 - 2x - 15 = (x - 5)(x + 3). \]

4. Теперь рассмотрим знаменатель \( x^2 - 9 \):

\[ x^2 - 9 = (x - 3)(x + 3). \]

5. Подставим разложенные множители в нашу функцию:

\[ \frac{(x - 5)(x + 3)}{(x - 3)(x + 3)}. \]

6. Мы видим, что можно сократить \( (x + 3) \):

\[ \frac{x - 5}{x - 3}, \quad \text{для } x \neq -3. \]

7. Теперь вычислим предел, подставив \( x = -3 \):

\[ \lim_{x \to -3} \frac{x - 5}{x - 3} = \frac{-3 - 5}{-3 - 3} = \frac{-8}{-6} = \frac{4}{3}. \]

Таким образом, предел функции \( \frac{x^2 - 2x - 15}{x^2 - 9} \) при \( x \to -3 \) равен \( \frac{4}{3} \).