2Bx=A[x+5B] A=[1 -1] B=[-3 2]
Чтобы решить уравнение \(2B \mathbf{x} = A[\mathbf{x} + 5B]\), начнем с подстановки данных для \(A\) и \(B\).
Даны: \[ A = \begin{bmatrix} 1 & -1 \end{bmatrix} \] \[ B = \begin{bmatrix} -3 \\ 2 \end{bmatrix} \]
Теперь найдем \(5B\): \[ 5B = 5 \cdot \begin{bmatrix} -3 \\ 2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -15 \\ 10 \end{bmatrix} \]
Следующий шаг — выразить правую часть уравнения. Для этого подставим \(\mathbf{x}\) и \(5B\) в \(A[\mathbf{x} + 5B]\): \[ \mathbf{x} + 5B = \mathbf{x} + \begin{bmatrix} -15 \\ 10 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} x_1 - 15 \\ x_2 + 10 \end{bmatrix} \]
Теперь подставим это в выражение \(A[\mathbf{x} + 5B]\): \[ A[\mathbf{x} + 5B] = A \begin{bmatrix} x_1 - 15 \\ x_2 + 10 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & -1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_1 - 15 \\ x_2 + 10 \end{bmatrix} \] Выполнив умножение, получаем: \[ 1 \cdot (x_1 - 15) + (-1) \cdot (x_2 + 10) = x_1 - 15 - x_2 - 10 = x_1 - x_2 - 25 \]
Теперь можем использовать эту информацию для решения уравнения \(2B \mathbf{x} = A[\mathbf{x} + 5B]\): \[ 2B \mathbf{x} = 2 \begin{bmatrix} -3 \\ 2 \end{bmatrix} \mathbf{x} = \begin{bmatrix} -6x_1 \\ 4x_2 \end{bmatrix} \]
Тогда уравнение принимает вид: \[ \begin{bmatrix} -6x_1 \\ 4x_2 \end{bmatrix} = x_1 - x_2 - 25 \]
Теперь мы можем представить каждую компоненту отдельно:
Для первой компоненты: \(-6x_1 = x_1 - x_2 - 25\)
Для второй компоненты: \(4x_2 = x_1 - x_2 - 25\)
Эти два уравнения можно решить как систему.
Решим первое уравнение: \[ -6x_1 - x_1 + x_2 + 25 = 0 \] \[ -7x_1 + x_2 + 25 = 0 \quad \Rightarrow \quad x_2 = 7x_1 - 25 \]
Теперь подставим \(x_2\) во второе уравнение: \[ 4(7x_1 - 25) = x_1 - (7x_1 - 25) - 25 \] Распишем и упростим уравнение: \[ 28x_1 - 100 = x_1 - 7x_1 + 25 - 25 \] \[ 28x_1 - 100 = -6x_1 \] \[ 34x_1 = 100 \quad \Rightarrow \quad x_1 = \frac{100}{34} = \frac{50}{17} \]
Теперь подставим \(x_1\) обратно в уравнение для \(x_2\): \[ x_2 = 7\left(\frac{50}{17}\right) - 25 = \frac{350}{17} - \frac{425}{17} = -\frac{75}{17} \]
Таким образом, конечные значения для \(\mathbf{x}\): \[ \mathbf{x} = \begin{bmatrix} \frac{50}{17} \\ -\frac{75}{17} \end{bmatrix} \]
Если будут дополнительные вопросы или нужна помощь с другими задачами, не стесняйтесь спрашивать!
