Найди абсциссу точки графика функции f(x)=2x^2/3x+3 , в которой функция f(x) меняет своё направление с возрастания на убывание. Запиши в поле ответа верное целое число или…

Чтобы найти абсциссу точки, в которой функция меняет свое направление с возрастания на убывание, нужно найти производную функции и определить её нули.

Дана функция: \[ f(x) = \frac{2x^2}{3x + 3} \]

Для нахождения производной воспользуемся правилом деления:

Если \( u = 2x^2 \) и \( v = 3x + 3 \), то \[ f'(x) = \frac{u'v - uv'}{v^2} \]

Сначала найдем производные \( u' \) и \( v' \):

• \( u' = 4x \)
• \( v' = 3 \)

Теперь подставим их в формулу производной: \[ f'(x) = \frac{(4x)(3x + 3) - (2x^2)(3)}{(3x + 3)^2} \]

Упрощаем числитель: \[ = \frac{12x^2 + 12x - 6x^2}{(3x + 3)^2} \] \[ = \frac{6x^2 + 12x}{(3x + 3)^2} \] \[ = \frac{6x(x + 2)}{(3x + 3)^2} \]

Теперь находим нули производной: \( 6x(x + 2) = 0 \)

Это уравнение равно нулю, когда:

1. \( x = 0 \)
2. \( x + 2 = 0 \Rightarrow x = -2 \)

Эти значения указывают на возможные точки смены направления. Теперь проверим, меняет ли функция свой знак в этих точках, чтобы определить, где происходит смена возрастания на убывание.

• Для \( x = -2 \):
  • Выбираем тестовые значения: \( x = -3 \) и \( x = -1 \):
    • \( f'(-3) > 0 \) (возрастание)
    • \( f'(-1) < 0 \) (убывание)

Таким образом, функция меняет свое направление с возрастания на убывание в точке \( x = -2 \).

Ответ: \(-2\)