Реши уравнения, где [ x ] [x] — целая часть числа x x, а ∣ x ∣ ∣x∣ — модуль числа. [ x ] = x [x]=x Корнем является: [ x ] + x = 0 [x]+x=0 Корнем является: ∣ x ∣ = x + 10 ∣x∣=x+10…

Давайте решим каждое из предложенных уравнений по порядку.

1. Уравнение: \([x] = x\)

   Целая часть числа \(x\) равна самому числу \(x\) только в том случае, если \(x\) является целым числом. То есть, \(x\) должно быть равно какому-то целому числу \(n\).

   Корень: все целые числа \(x\), то есть \(x \in \mathbb{Z}\).

2. Уравнение: \([x] + x = 0\)

   Мы можем записать это уравнение следующим образом: \[ [x] + x = 0 \implies x = -[x] \]

   Если обозначить \([x]\) как \(n\) (где \(n\) — целое число), то: \[ n + x = 0 \implies x = -n \]

   Поскольку \([x] = n\), мы знаем, что: \[ n \leq -n < n + 1 \] — это должно быть истинно. Решим это неравенство:

   \(-n < n + 1\) дает: \(-2n < 1 \Longrightarrow n > -\frac{1}{2}\).

   Но так как \(n\) — целое число, то \(n \geq 0\).

   Для \(n = 0\): \(x = 0\). Для \(n = 1\): \(x = -1\). Для \(n = 2\): \(x = -2\). И так далее.

   Корни: \(x = 0, -1, -2, -3, \ldots\); \(x \leq 0\) и \(x\) — любое целое число.

3. Уравнение: \(|x| = x + 10\)

   Это уравнение можно разбить на два случая:

   Случай 1: \(x \geq 0\)

   В этом случае \(|x| = x\), и уравнение принимает вид: \[ x = x + 10 \implies 0 = 10, \] что является противоречием. Следовательно, в этом случае решений нет.

   Случай 2: \(x < 0\)

   Здесь \(|x| = -x\), и уравнение превращается в: \[ -x = x + 10 \implies -2x = 10 \implies x = -5. \]

   Это значение подходит под условие \(x < 0\).

   Корень: \(x = -5\).

Таким образом,总结ируя, мы имеем:

1. Для \([x] = x\): \(x \in \mathbb{Z}\) (все целые числа).
2. Для \([x] + x = 0\): \(x \leq 0\) (все не положительные целые числа).
3. Для \(|x| = x + 10\): \(x = -5\).