Сторона основания правильной четырёхугольной пирамиды равна 3d, а её высота 2d. Найдите площадь полной поверхности пирамиды
Чтобы найти площадь полной поверхности правильной четырёхугольной пирамиды, нам сначала нужно рассчитать площади её основаниия и боковых граней.
- Площадь основания: Основание правильной четырёхугольной пирамиды является квадратом, так как это правильная пирамида с квадратным основанием. Страна основания равна 3d, поэтому:
\[ S_{осн} = a^2 = (3d)^2 = 9d^2. \]
- Площадь боковых граней: Правильная четырёхугольная пирамида имеет 4 треугольные боковые грани. Чтобы найти площадь одной боковой грани, мы будем использовать формулу для площади треугольника:
\[ S_{треуг} = \frac{1}{2} \cdot основание \cdot высота. \]
Основание треугольника — это сторона квадрата, равная 3d. Теперь найдем высоту бокового треугольника. Для этого необходимо использовать высоту пирамиды и полусумму основания. Центр квадрата будет находиться в его центре, поэтому расстояние от центра до угла основание равно:
\[ r = \frac{a}{2} = \frac{3d}{2} = \frac{3d}{2}. \]
Следовательно, высота боковой грани (которая является перпендикулярной высотой пирамиды) можно найти через Пифагорову теорему:
\[ h_{бок} = \sqrt{h^2 + r^2} = \sqrt{(2d)^2 + \left(\frac{3d}{2}\right)^2} = \sqrt{4d^2 + \frac{9d^2}{4}} = \sqrt{\frac{16d^2}{4} + \frac{9d^2}{4}} = \sqrt{\frac{25d^2}{4}} = \frac{5d}{2}. \]
Теперь можем найти площадь одной боковой грани:
\[ S_{треуг} = \frac{1}{2} \cdot (3d) \cdot \left(\frac{5d}{2}\right) = \frac{15d^2}{4}. \]
Так как у нас 4 боковые грани, общая площадь боковых граней:
\[ S_{бок} = 4 \cdot S_{треуг} = 4 \cdot \frac{15d^2}{4} = 15d^2. \]
- Суммируем площади: Теперь, чтобы получить полную площадь поверхности пирамиды, сложим площадь основания и площадь боковых граней:
\[ S_{полная} = S_{осн} + S_{бок} = 9d^2 + 15d^2 = 24d^2. \]
Итак, площадь полной поверхности правильной четырёхугольной пирамиды равна \( 24d^2 \).
