1 (В)течени... дня (не,ни) кто не вид...л Герасима. 2 (В)продолжени... всей болтовни Ноздрёва Чичиков несколько раз прот...рал себе глаза. 3 Пишу к вам из деревни, куда заехал (в)следстви... печальных обстоятельств. 4 Члены экспедиц...и и(с,сс)ледовали изменения (в)течени... реки, делая замеры её глубины. 5 (В)течени... реки мы обнаружили старую развалившуюся плотину. 6 (В)последстви... я узнал, что не только нав... днение явилось причиной нашей задержки. 7 (В)следстви... по делу автомобильной катастрофы были выяснены дополнительные обстоятельства. 8 (В)место девяти часов мы выехали в три. 9 (Не)смотря на позднюю осень, погода стояла сухая и тёплая. 10 (С,)говорившись (на)счёт завтрашнего дня, они распростились.

Давайте разберем ваши предложения и вставим необходимые варианты. В некоторых словах нужно использовать «не» или «ни», а в других — правильно оформить формы существительных и прилагательных.

1. В течение дня (ни) кто не видел Герасима.
2. В продолжении всей болтовни Ноздрёва Чичиков несколько раз протёр глаз (глаза не нужно, так как речь идет о протирании одного глаза).
3. Пишу к вам из деревни, куда заехал в следствие печальных обстоятельств.
4. Члены экспедиции исследовали изменения в течение реки, делая замеры её глубины.
5. В течение реки мы обнаружили старую развалившуюся плотину.
6. В последствии я узнал, что не только наводнение явилось причиной нашей задержки.
7. В следствии по делу автомобильной катастрофы были выяснены дополнительные обстоятельства.
8. В место девяти часов мы выехали в три.
9. Несмотря на позднюю осень, погода стояла сухая и тёплая.
10. Сговорившись насчёт завтрашнего дня, они распростились.

Если есть необходимость в дополнительных пояснениях по правилам написания, пожалуйста, дайте знать!