В пространстве даны векторы : а (1; –2; 2), b (-3; 1; 4), с (2; –3; 1). Найти скалярные произведения: bс, (2a – с)(b + с);
Для начала, давайте найдем скалярное произведение векторов b и c. Векторы имеют следующие координаты:
- b = (-3; 1; 4)
- c = (2; -3; 1)
Скалярное произведение двух векторов b и c вычисляется по формуле:
\[ b \cdot c = b_1 \cdot c_1 + b_2 \cdot c_2 + b_3 \cdot c_3 \]
Подставим координаты:
\[ b \cdot c = (-3) \cdot 2 + 1 \cdot (-3) + 4 \cdot 1 \] \[ = -6 - 3 + 4 \] \[ = -5 \]
Теперь найдем скалярное произведение \((2\mathbf{a} - \mathbf{c})(\mathbf{b} + \mathbf{c})\). Для этого сначала найдем векторы \(2\mathbf{a} - \mathbf{c}\) и \(\mathbf{b} + \mathbf{c}\).
- Вычислим \(2\mathbf{a}\):
\[ \mathbf{a} = (1; -2; 2) \quad \Rightarrow \quad 2\mathbf{a} = (2 \cdot 1; 2 \cdot -2; 2 \cdot 2) = (2; -4; 4) \]
- Найдем \(2\mathbf{a} - \mathbf{c}\):
\[ 2\mathbf{a} - \mathbf{c} = (2; -4; 4) - (2; -3; 1) = (2 - 2; -4 + 3; 4 - 1) = (0; -1; 3) \]
- Теперь вычислим \(\mathbf{b} + \mathbf{c}\):
\[ \mathbf{b} + \mathbf{c} = (-3; 1; 4) + (2; -3; 1) = (-3 + 2; 1 - 3; 4 + 1) = (-1; -2; 5) \]
Теперь мы можем найти скалярное произведение \((2\mathbf{a} - \mathbf{c})(\mathbf{b} + \mathbf{c})\):
\[ (2\mathbf{a} - \mathbf{c}) \cdot (\mathbf{b} + \mathbf{c}) = (0; -1; 3) \cdot (-1; -2; 5) \]
Используем формулу скалярного произведения:
\[ (2\mathbf{a} - \mathbf{c}) \cdot (\mathbf{b} + \mathbf{c}) = 0 \cdot (-1) + (-1) \cdot (-2) + 3 \cdot 5 \] \[ = 0 + 2 + 15 \] \[ = 17 \]
Таким образом, результаты скалярных произведений:
- \(b \cdot c = -5\)
- \((2\mathbf{a} - \mathbf{c}) \cdot (\mathbf{b} + \mathbf{c}) = 17\)
