X^2≥-15+8x

Чтобы решить неравенство \( x^2 \geq -15 + 8x \), начнем с приведения его к стандартному виду.

1. Переместим все выражения на одну сторону неравенства:

\[ x^2 - 8x + 15 \geq 0 \]

2. Далее, мы можем решить соответствующее квадратное уравнение \( x^2 - 8x + 15 = 0 \) для нахождения корней. Для этого используем формулу дискриминанта:

\[ D = b^2 - 4ac \]

где \( a = 1 \), \( b = -8 \), \( c = 15 \):

\[ D = (-8)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 15 = 64 - 60 = 4 \]

3. Так как дискриминант положительный, у этого уравнения два различных корня:

\[ x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{8 + 2}{2} = 5 \] \[ x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{8 - 2}{2} = 3 \]

4. Теперь у нас есть два корня: \( x_1 = 5 \) и \( x_2 = 3 \). Это означает, что многочлен \( x^2 - 8x + 15 \) меняет знак в этих точках.

5. Рассмотрим знаки многочлена на интервалах:

• Для \( x < 3 \): подставим \( x = 0 \): \( 0^2 - 8 \cdot 0 + 15 = 15 \) (положительно).
• Для \( 3 < x < 5 \): подставим \( x = 4 \): \( 4^2 - 8 \cdot 4 + 15 = 16 - 32 + 15 = -1 \) (отрицательно).
• Для \( x > 5 \): подставим \( x = 6 \): \( 6^2 - 8 \cdot 6 + 15 = 36 - 48 + 15 = 3 \) (положительно).

6. Теперь можем сделать вывод о знаках многочлена:

• \( x^2 - 8x + 15 \geq 0 \) на интервалах \( (-\infty, 3] \) и \( [5, +\infty) \).

Финальный ответ будет:

\[ x \in (-\infty, 3] \cup [5, +\infty) \]

Таким образом, неравенство выполняется для всех \( x \), которые лежат в указанных интервалах.