X^2 + 3x + 3 ≥ 0

Чтобы решить неравенство \( x^2 + 3x + 3 \geq 0 \), давайте сначала рассмотрим соответствующее квадратное уравнение:

\[ x^2 + 3x + 3 = 0. \]

Мы можем использовать дискриминант для нахождения корней уравнения. Дискриминант \( D \) вычисляется по формуле:

\[ D = b^2 - 4ac, \]

где \( a = 1 \), \( b = 3 \) и \( c = 3 \).

Подставим значения:

\[ D = 3^2 - 4 \cdot 1 \cdot 3 = 9 - 12 = -3. \]

Так как дискриминант отрицательный (\( D < 0 \)), это означает, что квадратное уравнение не имеет действительных корней. Поскольку коэффициент при \( x^2 \) положителен (1), график функции \( y = x^2 + 3x + 3 \) является параболой, открытой вверх, и она никогда не пересекает ось абсцисс.

Следовательно, функция \( x^2 + 3x + 3 \) всегда больше или равна нулю для всех значений \( x \).

Таким образом, результат неравенства:

\[ x^2 + 3x + 3 \geq 0 \]

выполняется для всех \( x \in \mathbb{R} \).

Ответ: Неравенство выполняется для всех \( x \).