√2x-15 - √x+16=-1 Какое одз

Чтобы решить уравнение \(\sqrt{2x - 15} - \sqrt{x + 16} = -1\) и найти область допустимых значений (ОДЗ), необходимо учитывать, что под корнями должно быть неотрицательное значение.

1. Найдем условия для корней:

   • Для первого корня: \(2x - 15 \geq 0\) \[ 2x \geq 15 \implies x \geq \frac{15}{2} = 7.5 \]

   • Для второго корня: \(x + 16 \geq 0\) \[ x \geq -16 \]

2. Объединим условия: Из двух неравенств более строгим является условие \(x \geq 7.5\), так как \(7.5 > -16\).

Таким образом, ОДЗ: \(x \geq 7.5\).

3. Теперь решим уравнение: Преобразуем уравнение: \[ \sqrt{2x - 15} = \sqrt{x + 16} - 1 \]

   Возведем обе стороны уравнения в квадрат: \[ 2x - 15 = (\sqrt{x + 16} - 1)^2 \] \[ 2x - 15 = (x + 16) - 2\sqrt{x + 16} + 1 \] \[ 2x - 15 = x + 17 - 2\sqrt{x + 16} \] Путем преобразований получим: \[ 2x - x - 15 - 17 = -2\sqrt{x + 16} \] \[ x - 32 = -2\sqrt{x + 16} \] Умножаем на -1 и делим на 2: \[ \frac{32 - x}{2} = \sqrt{x + 16} \]

   Снова возводим в квадрат: \[ \left(\frac{32 - x}{2}\right)^2 = x + 16 \] \[ \frac{(32 - x)^2}{4} = x + 16 \] Умножаем на 4: \[ (32 - x)^2 = 4(x + 16) \] \[ (32 - x)^2 = 4x + 64 \]

   Раскроем скобки и упростим: \[ 1024 - 64x + x^2 = 4x + 64 \] Переносим все в одну сторону: \[ x^2 - 68x + 960 = 0 \]

4. Решим квадратное уравнение: Используем дискриминант: \[ D = (-68)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 960 = 4624 - 3840 = 784 \] Находим корни: \[ x_1, x_2 = \frac{68 \pm \sqrt{784}}{2} \] \[ x_1, x_2 = \frac{68 \pm 28}{2} \] \[ x_1 = \frac{96}{2} = 48, \quad x_2 = \frac{40}{2} = 20 \]

5. Проверим корни на ОДЗ: Оба корня \(x = 20\) и \(x = 48\) удовлетворяют условиям \(x \geq 7.5\).

Таким образом, решением уравнения являются \(x = 20\) и \(x = 48\), а область допустимых значений – \(x \geq 7.5\).