×⁴-10ײ+19=0

Чтобы решить уравнение \( x^4 - 10x^2 + 19 = 0 \), начнем с замены переменной. В этом уравнении присутствует \( x^2 \), поэтому давайте введем новую переменную:

Пусть \( y = x^2 \). Тогда уравнение принимает следующий вид:

\[ y^2 - 10y + 19 = 0 \]

Теперь мы имеем квадратное уравнение. Для его решения можно использовать формулу корней квадратного уравнения:

\[ y = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \]

В нашем случае: \( a = 1 \), \( b = -10 \), \( c = 19 \).

Посчитаем дискриминант:

\[ D = b^2 - 4ac = (-10)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 19 = 100 - 76 = 24 \]

Теперь подставим значения в формулу:

\[ y = \frac{10 \pm \sqrt{24}}{2} \]

Заметим, что \( \sqrt{24} = 2\sqrt{6} \). Тогда:

\[ y = \frac{10 \pm 2\sqrt{6}}{2} = 5 \pm \sqrt{6} \]

Теперь у нас есть два значения для \( y \):

1. \( y_1 = 5 + \sqrt{6} \)
2. \( y_2 = 5 - \sqrt{6} \)

Теперь возвращаемся к переменной \( x \). Поскольку \( y = x^2 \), у нас есть:

1. \( x^2 = 5 + \sqrt{6} \)
2. \( x^2 = 5 - \sqrt{6} \)

Теперь найдем значения \( x \):

1. \( x = \pm \sqrt{5 + \sqrt{6}} \)
2. \( x = \pm \sqrt{5 - \sqrt{6}} \)

В итоге у нас есть четыре корня уравнения \( x^4 - 10x^2 + 19 = 0 \):

1. \( x = \sqrt{5 + \sqrt{6}} \)
2. \( x = -\sqrt{5 + \sqrt{6}} \)
3. \( x = \sqrt{5 - \sqrt{6}} \)
4. \( x = -\sqrt{5 - \sqrt{6}} \)

Это и есть все корни данного уравнения! Если у вас есть дополнительные вопросы или нужно разъяснение по какому-либо из шагов, не стесняйтесь спрашивать!