На рисунку чотирикутник ABCD — M паралелограм. На прямій АС позначили точки М і N, а на прямій. BD — точки К і Р так, що AM = CN - і BP = DK . Доведіть, що чотирику?- ник KMPN —…

Для доведення того, що чотирикутник \( KMPN \) є паралелограмом, потрібно показати, що його протилежні сторони рівні та паралельні.

1. Відомо, що \( ABCD \) — це паралелограм, отже, \( AB \parallel CD \) і \( AD \parallel BC \).

2. Нехай точки \( M \) і \( N \) лежать на прямій \( AC \) так, що \( AM = CN \). Оскільки \( M \) та \( N \) лежать на одній прямій, то вектор \( \overrightarrow{MN} \) може бути виражений через вектори \( \overrightarrow{A} \) та \( \overrightarrow{C} \): \[ \overrightarrow{MN} = \overrightarrow{N} - \overrightarrow{M} = \overrightarrow{C} - \overrightarrow{A}. \]

3. Аналогічно, \( K \) і \( P \) лежать на прямій \( BD \) так, що \( BP = DK \). Отже, можна записати: \[ \overrightarrow{KP} = \overrightarrow{P} - \overrightarrow{K} = \overrightarrow{D} - \overrightarrow{B}. \]

4. Через властивість паралелограма маємо, що: \[ \overrightarrow{AB} = \overrightarrow{D} - \overrightarrow{C} \quad \text{та} \quad \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{A} - \overrightarrow{B}. \]

5. Оскільки \( AM = CN \) і \( BP = DK \), вектори можуть бути записані у вигляді: \[ \overrightarrow{K} = \overrightarrow{B} + \overrightarrow{DK} \] і \[ \overrightarrow{P} = \overrightarrow{D} + \overrightarrow{BP}. \]

6. Зрозуміло, що випадки \( \overrightarrow{KP} \) і \( \overrightarrow{MN} \) алгебраїчно рівні, отже: \[ \overrightarrow{MN} \parallel \overrightarrow{KP} \] і \[ \overrightarrow{MK} \parallel \overrightarrow{NP}. \]

7. Таким чином, оскільки протилежні сторони \( KMPN \) рівні й паралельні, чотирикутник \( KMPN \) є паралелограмом.

Отже, ми довели, що чотирикутник \( KMPN \) є паралелограмом.