Висота основи правильної трикутної призми дорівнює 5 см. Обчислити площу повної поверхні призми, якщо її бічне ребро дорівнює 843 см.
Чтобы найти площадь полной поверхности правильной треугольной призмы, необходимо учесть площадь её оснований и площадь боковых граней.
Площадь основания: Поскольку основание — это равносторонний треугольник, площадь треугольника можно найти по формуле: \[ S = \frac{a^2 \sqrt{3}}{4} \] где \( a \) — длина стороны треугольника. Чтобы найти \( a \), используем высоту треугольника и связь между высотой, стороной и свойствами равностороннего треугольника. Высота правильного треугольника выражается как: \[ h = \frac{\sqrt{3}}{2} a \] Здесь у нас высота основания \( h = 5 \) см. Таким образом: \[ 5 = \frac{\sqrt{3}}{2} a \implies a = \frac{10}{\sqrt{3}} \approx 5.77 \text{ см} \]
Теперь подставим значение \( a \) в формулу площади основания: \[ S_{\text{основания}} = \frac{\left( \frac{10}{\sqrt{3}} \right)^2 \sqrt{3}}{4} = \frac{100 \cdot 3^{1/2}}{12} = \frac{25 \sqrt{3}}{3} \approx 14.43 \text{ см}^2 \]
Поскольку у нас 2 основания, их общая площадь: \[ S_{\text{оснований}} = 2 \cdot S_{\text{основания}} \approx 2 \cdot 14.43 \approx 28.86 \text{ см}^2 \]
Площадь бокових граней: Боковые грани призмы представляют собой прямоугольники. Их площадь можно найти, умножив длину бокового ребра на периметр основания.
Периметр равностороннего треугольника: \[ P = 3a = 3 \cdot \frac{10}{\sqrt{3}} \approx 17.32 \text{ см} \] Площадь боковых граней: \[ S_{\text{боковых граней}} = P \cdot h_{\text{бок}} = P \cdot L = 17.32 \cdot 843 \approx 14614.76 \text{ см}^2 \]
Площадь полной поверхні: Объединим все составляющие: \[ S_{\text{полн}} = S_{\text{оснований}} + S_{\text{боковых граней}} \approx 28.86 + 14614.76 \approx 14643.62 \text{ см}^2 \]
Таким образом, площадь полной поверхности правильной треугольной призмы составляет примерно \( 14643.62 \) см².
