в амфитеатре 30 рядов. в первом ряду 12 мест, а в каждом следующем - на 2 места больше, чем в предыдущем. сколько всего мест в амфитеатре?

Чтобы найти общее количество мест в амфитеатре, можно воспользоваться формулой для суммы арифметической прогрессии.

В данном случае:

• Первый ряд (n=1): 12 мест.
• Каждый следующий ряд (n>1) имеет на 2 места больше, чем предыдущий.

Количество мест в каждом ряду можно выразить как:

• 1-й ряд: \( a_1 = 12 \)
• 2-й ряд: \( a_2 = 12 + 2 = 14 \)
• 3-й ряд: \( a_3 = 12 + 2 \cdot 2 = 16 \)
• и так далее.

Количество мест в n-ом ряду можно записать как: \[ a_n = 12 + 2(n - 1) = 12 + 2n - 2 = 2n + 10 \]

Теперь найдем количество мест в 30 рядах: \[ \text{Общее количество мест} = a_1 + a_2 + \ldots + a_{30} = \sum_{n=1}^{30} (2n + 10) \]

Эту сумму можно разбить на две части: \[ \sum_{n=1}^{30} (2n + 10) = \sum_{n=1}^{30} 2n + \sum_{n=1}^{30} 10 \] \[ = 2\sum_{n=1}^{30} n + 10 \cdot 30 \]

Сумма первых n натуральных чисел: \[ \sum_{n=1}^{30} n = \frac{n(n + 1)}{2} = \frac{30 \cdot 31}{2} = 465 \]

Теперь подставляем это значение: \[ 2 \sum_{n=1}^{30} n = 2 \cdot 465 = 930 \] \[ 10 \cdot 30 = 300 \]

Теперь складываем эти суммы: \[ \text{Общее количество мест} = 930 + 300 = 1230 \]

Итак, в амфитеатре всего 1230 мест.