x²-5x+4 > 0 или =0 2x²-5x+2 <0 или =0

Давай разберемся с этими неравенствами по порядку.

1. Неравенство \(x^2 - 5x + 4 \geq 0\):

   Сначала найдем корни квадратного уравнения \(x^2 - 5x + 4 = 0\). Для этого воспользуемся формулой дискриминанта:

   \[ D = b^2 - 4ac = (-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 4 = 25 - 16 = 9 \]

   Так как дискриминант положительный, у уравнения два различных корня. Находим их:

   \[ x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{5 + 3}{2} = 4, \] \[ x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{5 - 3}{2} = 1. \]

   Теперь корни \(x_1 = 4\) и \(x_2 = 1\). Мы можем определить промежутки, где выражение \(x^2 - 5x + 4 \geq 0\):

   • \( (-\infty, 1) \)
   • \( [1, 4] \) (включая 1 и 4, так как стоит знак \(\geq\))
   • \( (4, +\infty) \)

   Проверим знаки в этих интервалах:

   • Для \(x < 1\) (например, \(x = 0\)): \(0^2 - 5 \cdot 0 + 4 = 4 > 0\)
   • Для \(1 < x < 4\) (например, \(x = 2\)): \(2^2 - 5 \cdot 2 + 4 = -2 < 0\)
   • Для \(x > 4\) (например, \(x = 5\)): \(5^2 - 5 \cdot 5 + 4 = 4 > 0\)

   Таким образом, решение неравенства \(x^2 - 5x + 4 \geq 0\) — это:

   \[ x \in (-\infty, 1] \cup [4, +\infty). \]

2. Неравенство \(2x^2 - 5x + 2 < 0\):

   Найдем корни для уравнения \(2x^2 - 5x + 2 = 0\).

   Находим дискриминант:

   \[ D = (-5)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 2 = 25 - 16 = 9. \]

   Корни:

   \[ x_1 = \frac{5 + \sqrt{9}}{2 \cdot 2} = \frac{5 + 3}{4} = 2, \] \[ x_2 = \frac{5 - \sqrt{9}}{2 \cdot 2} = \frac{5 - 3}{4} = \frac{1}{2}. \]

   Теперь у нас есть корни \(x_1 = 2\) и \(x_2 = \frac{1}{2}\). Мы определим промежутки для неравенства \(2x^2 - 5x + 2 < 0\):

   • \( (-\infty, \frac{1}{2}) \)
   • \( \left(\frac{1}{2}, 2\right) \) (здесь не включаем концы, так как знак "<")
   • \( (2, +\infty) \)

   Проверим знаки в этих интервалах:

   • Для \(x < \frac{1}{2}\) (например, \(x = 0\)): \(2 \cdot 0^2 - 5 \cdot 0 + 2 = 2 > 0\)
   • Для \(\frac{1}{2} < x < 2\) (например, \(x = 1\)): \(2 \cdot 1^2 - 5 \cdot 1 + 2 = -1 < 0\)
   • Для \(x > 2\) (например, \(x = 3\)): \(2 \cdot 3^2 - 5 \cdot 3 + 2 = 2 > 0\)

   Следовательно, решение неравенства \(2x^2 - 5x + 2 < 0\):

   \[ x \in \left( \frac{1}{2}, 2 \right). \]

Теперь у нас есть полные решения обоих неравенств. Если останутся вопросы, не стесняйся задавать!