Тяжёлый ящик массой М = 10 кг стоит на горизонтальной гладкой поверхности. Через лёгкие ролики, установленные на верхней плоскости ящика, перекинута лёгкая нерастяжимая нить, на…
Тяжёлый ящик массой М = 10 кг стоит на горизонтальной гладкой поверхности. Через лёгкие ролики, установленные на верхней плоскости ящика, перекинута лёгкая нерастяжимая нить, на концах которой подвешены грузы массами т₁ = 2 кг и т2 = 3 кг. Трением при вращении роликов можно пренебречь. Первоначально грузы удерживают неподвижными на одной высоте h = 0.25 м от горизонтальной поверхности, при этом верхний участок нити между роликами горизонтален, участки нити между грузами и роликами вертикальны, нить не провисает. Грузы освобождают, и они приходят в движение. Ускорение свободного падения д = 10 м/с². Определите ускорение груза т₁. Ответ выразите в м/с², округлите до целых. Определите натяжение нити на горизонтальном участке в процессе движения грузов. Ответ выразите в ньютонах, округлите до целых. Через какое время после начала движения тяжёлый груз первый раз ударится о землю? Ответ выразите в секундах, округлите до десятых.
Для решения данной задачи воспользуемся законами динамики и кинематики.
1. Определение ускорения груза t₁
Начнем с написания уравнений движения для грузов t₁ и t₂.
Действующие на грузы силы:
- Для груза t₁: сила тяжести \( F_{t₁} = m₁ \cdot g = 2 \, \text{кг} \cdot 10 \, \text{м/с}² = 20 \, \text{Н} \)
- Для груза t₂: сила тяжести \( F_{t₂} = m₂ \cdot g = 3 \, \text{кг} \cdot 10 \, \text{м/с}² = 30 \, \text{Н} \)
Из анализа системы, когда грузы начинаются двигаться, на них действуют следующие силы:
Для груза t₁ есть разность сил: \[ F_{net, t₁} = T - F_{t₁} = T - 20 \]
Для груза t₂ действуют: \[ F_{net, t₂} = F_{t₂} - T = 30 - T \]
Поскольку оба груза имеют одно и то же ускорение \( a \), можно записать: \[ \frac{F_{net, t₁}}{m₁} = a \quad \text{и} \quad \frac{F_{net, t₂}}{m₂} = a \] Отсюда: \[ \frac{T - 20}{2} = a \quad \text{(1)} \] \[ \frac{30 - T}{3} = a \quad \text{(2)} \]
Теперь у нас есть две системы уравнений. Решим их, приравняв \( a \) из (1) и (2):
Из (1): \[ T - 20 = 2a \Rightarrow T = 2a + 20 \]
Подставим это значение T в (2): \[ 30 - (2a + 20) = 3a \]
Приведем подобные: \[ 30 - 20 = 2a + 3a \] \[ 10 = 5a \] \[ a = 2 \, \text{м/с}² \]
Таким образом, ускорение груза t₁ равно 2 м/с².
2. Определение натяжения нити
Чтобы найти натяжение T, подставим значение ускорения a в любое из уравнений. Используем (1): \[ T = 2a + 20 = 2 \cdot 2 + 20 = 4 + 20 = 24 \, \text{Н} \]
Натяжение нити на горизонтальном участке равно 24 Н.
3. Время падения груза t₁
Груз t₁ начинает падать с высоты \( h = 0.25 \, \text{м} \). Учитывая ускорение свободного падения \( g = 10 \, \text{м/с²} \) и начало с нулевой скоростью, используем уравнение движения: \[ h = \frac{1}{2} g t² \] Подставим значения: \[ 0.25 = \frac{1}{2} \cdot 10 \cdot t² \] \[ 0.25 = 5 t² \] \[ t² = \frac{0.25}{5} = 0.05 \] \[ t = \sqrt{0.05} \approx 0.224 \, \text{с} \]
Округляем до десятых: t ≈ 0.2 с.
Ответы:
- Ускорение груза t₁: 2 м/с².
- Натяжение нити: 24 Н.
- Время падения: 0.2 с.
