Решите уравнение B) 2sin^2 x + sin x - 1 = 0 6) 2cos^2 x - 2cos x - 1 = 0 r) 6tg^2 x + tg x - 1 = 0

Конечно! Давайте вместе решим каждое из данных уравнений.

B) \( 2\sin^2 x + \sin x - 1 = 0 \)

Это квадратное уравнение по \( \sin x \). Чтобы решить его, обозначим \( y = \sin x \), и тогда уравнение принимает вид:

\( 2y^2 + y - 1 = 0 \)

Теперь можем использовать формулу для решения квадратного уравнения \( y = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \), где \( a = 2 \), \( b = 1 \), \( c = -1 \).

1. Вычислим дискриминант: \[ D = b^2 - 4ac = 1^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-1) = 1 + 8 = 9 \]

2. Найдем корни: \[ y_1 = \frac{-1 + \sqrt{9}}{2 \cdot 2} = \frac{-1 + 3}{4} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2} \] \[ y_2 = \frac{-1 - \sqrt{9}}{2 \cdot 2} = \frac{-1 - 3}{4} = \frac{-4}{4} = -1 \]

Теперь найдем соответствующие \( x \):

• Для \( \sin x = \frac{1}{2} \) решения: \( x = \frac{\pi}{6} + 2k\pi \) и \( x = \frac{5\pi}{6} + 2k\pi \), где \( k \in \mathbb{Z} \).
• Для \( \sin x = -1 \): \( x = \frac{3\pi}{2} + 2k\pi \), где \( k \in \mathbb{Z} \).

6) \( 2\cos^2 x - 2\cos x - 1 = 0 \)

Также это квадратное уравнение. Заменим \( z = \cos x \), и уравнение становится:

\( 2z^2 - 2z - 1 = 0 \)

1. Вычислим дискриминант: \[ D = (-2)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-1) = 4 + 8 = 12 \]

2. Найдем корни: \[ z_1 = \frac{2 + \sqrt{12}}{4} = \frac{2 + 2\sqrt{3}}{4} = \frac{1 + \sqrt{3}}{2} \] \[ z_2 = \frac{2 - \sqrt{12}}{4} = \frac{2 - 2\sqrt{3}}{4} = \frac{1 - \sqrt{3}}{2} \]

Теперь находим \( x \):

• Для \( \cos x = \frac{1 + \sqrt{3}}{2} \): \[ x = \frac{\pi}{6} + 2k\pi \quad \text{и} \quad x = -\frac{\pi}{6} + 2k\pi \]
• Для \( \cos x = \frac{1 - \sqrt{3}}{2} \): \[ x = \frac{5\pi}{6} + 2k\pi \quad \text{и} \quad x = -\frac{5\pi}{6} + 2k\pi \]

r) \( 6\tan^2 x + \tan x - 1 = 0 \)

Это также квадратное уравнение, где \( w = \tan x \):

\( 6w^2 + w - 1 = 0 \)

1. Вычислим дискриминант: \[ D = 1^2 - 4 \cdot 6 \cdot (-1) = 1 + 24 = 25 \]

2. Найдем корни: \[ w_1 = \frac{-1 + \sqrt{25}}{2 \cdot 6} = \frac{-1 + 5}{12} = \frac{4}{12} = \frac{1}{3} \] \[ w_2 = \frac{-1 - \sqrt{25}}{12} = \frac{-1 - 5}{12} = \frac{-6}{12} = -\frac{1}{2} \]

Теперь находим \( x \):

• Для \( \tan x = \frac{1}{3} \): \[ x = \arctan\left(\frac{1}{3}\right) + k\pi, \quad k \in \mathbb{Z} \]
• Для \( \tan x = -\frac{1}{2} \): \[ x = \arctan\left(-\frac{1}{2}\right) + k\pi, \quad k \in \mathbb{Z} \]

Если будут дополнительные вопросы или необходимо углубиться в какие-то моменты, пожалуйста, дайте знать!