7. Тело А массой М=2 кг находится на горизонтальном столе и соединено нитями посредством блоков с телами В (т1=0,5 кг) и С (т2=0,3 кг). Считая нити и блоки невесомыми и…
7. Тело А массой М=2 кг находится на горизонтальном столе и соединено нитями посредством блоков с телами В (т1=0,5 кг) и С (т2=0,3 кг). Считая нити и блоки невесомыми и пренебрегая силами трения, определите: 1) ускорение, с которым будут двигаться эти тела; 2) разность сил натяжения нитей. 8. На рисунке изображена система блоков, к которым подвешены грузы массами т =200 г и т2=500 г. Считая, что груз т поднимается, а подвижный блок с грузом m2 опускается, нить и блоки невесомы, силы трения отсутствуют, определите: 1) силу натяжения нити Т; 2) ускорения, с которыми движутся грузы. 9. Два мальчика стоят на коньках лицом друг к другу и держат за концы веревку. Масса одного мальчика 30 кг, масса другого 40 кг. Один из мальчиков начинает сматывать веревку таким образом, что ее длина уменьшается на 35 см за секунду. С какой скоростью (в см/с) станет двигаться более легкий мальчик? Массой веревки и силой трения пренебречь. 10. Тележка двигается с постоянной скоростью. Человек, скорость которого в 2 раза больше, догоняет тележку, вскакивает на нее и остается на ней, в результате чего скорость тележки увеличивается на 20%. Во сколько раз масса тележки больше массы человека?
- Чтобы решить первую задачу, давайте сначала проанализируем систему.
У нас есть тела А (массой М = 2 кг), Б (массой m1 = 0,5 кг) и С (массой m2 = 0,3 кг). Тело А лежит на горизонтальной поверхности, соединено с B и C через блоки. Поскольку силы трения отсутствуют и нити безмассовые, мы можем использовать закон сохранения движения и второй закон Ньютона.
- Найдем ускорение системы. Рассмотрим силы, действующие на гири B и C. Сила тяжести на тело B равна m1g, а на тело C - m2g. При этом, учитываем, что тело А не может подняться, и его вес будет компенсирован натяжением. Тогда система может быть описана следующей формулой:
\[ F_{\text{система}} = m1g - m2g = (m1 - m2)g \]
Теперь общее ускорение \( a \) всех трех тел будет равно:
\[ a = \frac{(m1 - m2)g}{M + m1 + m2} = \frac{(0.5 - 0.3) \cdot 9.8}{2 + 0.5 + 0.3} = \frac{(0.2) \cdot 9.8}{2.8} \approx 0.7 \ \text{м/с}^2 \]
- Теперь найдем разность сил натяжения нитей. Сила натяжения в нити, соединяющей тела A и B, будет равна:
\[ T_1 = m1(g - a) = 0.5(9.8 - 0.7) \approx 4.0 \ \text{Н} \]
А натяжение в нити, соединяющей A и C:
\[ T_2 = m2(g + a) = 0.3(9.8 + 0.7) \approx 3.0 \ \text{Н} \]
Разность натяжений:
\[ \Delta T = T_1 - T_2 \approx 4.0 - 3.0 = 1.0 \ \text{Н} \]
- Для второй задачи, где вес груза \( m1 = 200 г = 0.2 \text{кг} \) и \( m2 = 500 г = 0.5 \text{кг} \):
- Зафиксируем, что грузы движутся в противоположных направлениях. При этом, ускорение системы можно найти с помощью:
\[ m2g - m1g = (m1 + m2)a \]
Подставляем значения:
\[ 0.5 \cdot 9.8 - 0.2 \cdot 9.8 = (0.2 + 0.5)a \]
Упрощаем уравнение:
\[ (0.5 - 0.2) \cdot 9.8 = 0.7a \]
\[ 0.3 \cdot 9.8 = 0.7a \]
Таким образом, ускорение \( a \) будет:
\[ a = \frac{0.3 \cdot 9.8}{0.7} \approx 4.2 \ \text{м/с}^2 \]
Теперь найдем силу натяжения \( T \):
\[ T = m1(g + a) = 0.2(9.8 + 4.2) = 0.2 \cdot 14 \approx 2.8 \ \text{Н} \]
- В третьей задаче два мальчика, один из которых 30 кг, а другой 40 кг, стоят лицом друг к другу. Один из них сматывает веревку, и её длина уменьшается на 0,35 м за секунду.
Система сохраняет момент импульса, поскольку сила трения пренебрегается. Если один мальчик (массой 30 кг) будет двигаться к другому, то его скорость можно выразить через управление длиной веревки \( v_1 \):
Пусть \( v_2 \) - скорость более тяжелого мальчика.
Согласно закону сохранения импульса:
\[ m_1 v_1 = m_2 v_2 \]
где \( v_1 \) - скорость более легкого мальчика. Если \( v_1 = 35 \ \text{см/с} \), то запишем уравнение:
\[ 30 v_1 = 40 v_2 \]
Из этого следует, что:
\[ v_2 = \frac{30}{40} v_1 = 0.75 v_1 \]
Если скорость 40 кг - \( 35 \ \text{см/с} \), то скорость легкого мальчика приблизительно:
\[ v_1 = 0.75 \times 35 \approx 26.25 \ \text{см/с} \]
- В последней задаче у нас есть тележка, движущаяся с постоянной скоростью, и человек, который догоняет её. Скорость человека в 2 раза больше скорости тележки, обозначим её как \( v \).
Когда человек вскакивает на тележку, скорость тележки увеличивается на 20%, что равносильно \( 1.2v \).
Перепишем закон сохранения импульса:
\[ m_{т} v + m_{ч} (2v) = (m_{т} + m_{ч}) (1.2v) \]
Сокращая на \( v \) (поскольку \( v \) не может быть нулем):
\[ m_{т} + 2m_{ч} = 1.2m_{т} + 1.2m_{ч} \]
Переносим все элементы на одну сторону:
\[ m_{т} - 1.2m_{т} + 2m_{ч} - 1.2m_{ч} = 0 \]
Это дает:
\[ -0.2m_{т} + 0.8m_{ч} = 0 \Rightarrow 0.2m_{т} = 0.8m_{ч} \]
Следовательно:
\[ m_{т} = \frac{0.8}{0.2}m_{ч} = 4m_{ч} \]
Это означает, что масса тележки в 4 раза больше массы человека.
