При каких m и n многочлен x³ + mx + n при любых x делается на x² + 3x + 10 без остатка

Чтобы многочлен \( x^3 + mx + n \) делился на многочлен \( x^2 + 3x + 10 \) без остатка, необходимо, чтобы его степень была выше степени делителя. В данном случае делитель имеет степень 2, а делимое — степень 3. Это означает, что для деления без остатка необходимо, чтобы оставшиеся члены были равны 0 при подстановке корней делителя.

Давайте начнём с использования метода деления многочленов. Мы можем представить \( x^3 + mx + n \) в виде:

\[ x^3 + mx + n = (x^2 + 3x + 10)(Ax + B) \]

где \( A \) и \( B \) — некоторые коэффициенты.

Для нахождения коэффициентов \( A \) и \( B \) нам нужно определить, что получится при умножении:

\[ (x^2 + 3x + 10)(Ax + B) = Ax^3 + (3A + B)x^2 + (10A + 3B)x + 10B \]

Теперь приравняем коэффициенты с оригинальным многочленом \( x^3 + 0x^2 + mx + n \):

1. Коэффициент при \( x^3 \): \[ A = 1 \]
2. Коэффициент при \( x^2 \): \[ 3A + B = 0 \implies 3 \cdot 1 + B = 0 \implies B = -3 \]
3. Коэффициент при \( x \): \[ 10A + 3B = m \implies 10 \cdot 1 + 3 \cdot (-3) = m \implies 10 - 9 = m \implies m = 1 \]
4. Свободный член: \[ 10B = n \implies 10 \cdot (-3) = n \implies n = -30 \]

Таким образом, найденные значения \( m \) и \( n \) равны:

\[ m = 1, \quad n = -30 \]

Итак, многочлен \( x^3 + 1x - 30 \) можно разделить на \( x^2 + 3x + 10 \) без остатка, когда \( m = 1 \) и \( n = -30 \).