Вычислить интеграл
Привет! Давай разберемся с этим интегралом.
Ты хочешь вычислить определенный интеграл:
\[ \int_{\frac{\pi}{8}}^{\frac{\pi}{4}} \frac{dx}{\cos^2\left(\frac{2x - \pi}{4}\right)} \]
Вот как его можно решить:
Замена переменной:
Положим \( u = \frac{2x - \pi}{4} \). Тогда \[ du = \frac{1}{2} dx \quad \Rightarrow \quad dx = 2 \, du \]
Подставим пределы интегрирования:
- Когда \( x = \frac{\pi}{8}, \) то \( u = \frac{2 \cdot \frac{\pi}{8} - \pi}{4} = -\frac{\pi}{8} \)
- Когда \( x = \frac{\pi}{4}, \) то \( u = \frac{2 \cdot \frac{\pi}{4} - \pi}{4} = 0 \)
Перепишем интеграл:
\[ \int_{-\frac{\pi}{8}}^{0} \frac{2 \, du}{\cos^2(u)} \]
Вычислим интеграл:
\( \frac{1}{\cos^2(u)} = \sec^2(u) \), и интеграл от \( \sec^2(u) \) есть \( \tan(u) \).
\[ \int \sec^2(u) \, du = \tan(u) + C \]
Подставим пределы и интеграл станет:
\[ 2 \left[ \tan(u) \right]_{-\frac{\pi}{8}}^{0} = 2 (\tan(0) - \tan(-\frac{\pi}{8})) \]
Вычислим значения тангенсов:
\( \tan(0) = 0 \) и \( \tan(-\frac{\pi}{8}) = -\tan(\frac{\pi}{8}) \).
Значение \(\tan(\frac{\pi}{8})\) можно получть с помощью тригонометрических тождеств или просто вспомнить: \(\tan(\frac{\pi}{8}) = \sqrt{2}-1\).
Стало быть:
\( \tan(-\frac{\pi}{8}) = -(\sqrt{2}-1) \)
Посчитаем результат:
\( 2 \times (0 - (-(\sqrt{2} - 1))) = 2 \times (\sqrt{2} - 1) \)
Таким образом ответ будет: \(2\sqrt{2} - 2\).
Если есть еще какие-то вопросы, дай знать!
