Решите неравенство (х+7) в 10 степени (х-9)(х-8) в 5 степени меньше 0
Чтобы решить неравенство \((x + 7)^{10} (x - 9)(x - 8)^5 < 0\), начнем с анализа каждой части неравенства.
Рассмотрим множитель \((x + 7)^{10}\): Этот множитель всегда неотрицателен, так как возводится в четную степень. Он равен нулю, когда \(x + 7 = 0\), то есть \(x = -7\).
Рассмотрим множитель \((x - 9)\): Этот множитель будет отрицателен, когда \(x < 9\) и равен нулю при \(x = 9\).
Рассмотрим множитель \((x - 8)^5\): Этот множитель также будет неотрицателен, так как возводится в нечетную степень. Он равен нулю, когда \(x - 8 = 0\), то есть \(x = 8\).
Теперь соберем все условия вместе. Получаем:
- \((x + 7)^{10} > 0\) для всех \(x \neq -7\).
- \((x - 9) < 0\) для \(x < 9\).
- \((x - 8)^5 \geq 0\) для всех \(x \geq 8\).
Поскольку \((x + 7)^{10}\) всегда больше или равно нулю (и равен нулю только при \(x = -7\)), основное внимание сосредоточим на знаках других множителей:
Теперь определим, при каких условиях произведение равно нулю и знакам:
- При \(x = 9\), вся функция равна нулю, и при \(x < 9\) знак зависит от \((x - 8)^5\).
- При \(x = 8\), функция также равна нулю, но, при \(x < 8\), \((x - 8)^5 < 0\).
Теперь проверим интервалы:
Интервал \( (-\infty, -7) \):
- \((x + 7)^{10} > 0\),
- \((x - 9) < 0\),
- \((x - 8)^5 < 0\). → Произведение \(> 0\).
В точке \(x = -7\):
- Равен нулю.
Интервал \((-7, 8)\):
- \((x + 7)^{10} > 0\),
- \((x - 9) < 0\),
- \((x - 8)^5 < 0\). → Произведение \(< 0\).
В точке \(x = 8\):
- Равен нулю.
Интервал \((8, 9)\):
- \((x + 7)^{10} > 0\),
- \((x - 9) < 0\),
- \((x - 8)^5 > 0\). → Произведение \(< 0\).
В точке \(x = 9\):
- Равен нулю.
Интервал \((9, \infty)\):
- \((x + 7)^{10} > 0\),
- \((x - 9) > 0\),
- \((x - 8)^5 > 0\). → Произведение \(> 0\).
Таким образом, неравенство \((x + 7)^{10} (x - 9)(x - 8)^5 < 0\) выполняется в интервалах:
\((-7, 8)\) и \((8, 9)\).
Итак, полное решение:
\(x \in (-7, 8) \cup (8, 9)\).
