X⁴-4x²-45=0 решить с помощью дискриминанта
Чтобы решить уравнение \(x^4 - 4x^2 - 45 = 0\) с помощью дискриминанта, сначала сделаем замену переменной. Обозначим \(y = x^2\). Тогда наше уравнение преобразуется в \(y^2 - 4y - 45 = 0\).
Теперь это станет квадратным уравнением, которое мы можем решить с помощью дискриминанта.
Дискриминант \(D\) квадратного уравнения \(ay^2 + by + c = 0\) вычисляется по формуле:
\[ D = b^2 - 4ac \]
Для нашего уравнения:
- \(a = 1\)
- \(b = -4\)
- \(c = -45\)
Подставляем значения в формулу для дискриминанта:
\[ D = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-45) = 16 + 180 = 196 \]
Так как \(D > 0\), у нашего уравнения два различных корня. Теперь найдем эти корни, используя формулу корней квадратного уравнения:
\[ y = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} \]
Подставим значения:
\[ y = \frac{4 \pm \sqrt{196}}{2 \cdot 1} = \frac{4 \pm 14}{2} \]
В результате получаем два корня:
- \(y_1 = \frac{4 + 14}{2} = \frac{18}{2} = 9\)
- \(y_2 = \frac{4 - 14}{2} = \frac{-10}{2} = -5\)
Теперь вернемся к переменной \(x\):
- \(y_1 = 9 \Rightarrow x^2 = 9 \Rightarrow x = 3\) или \(x = -3\)
- \(y_2 = -5\) не имеет действительных корней, так как квадрат числа не может быть отрицательным.
Таким образом, единственными действительными решениями нашего уравнения являются:
\[ x = 3 \quad \text{и} \quad x = -3 \]
Если есть вопросы или что-то нужно уточнить, не стесняйтесь спрашивать!
