Найдите tg a, если cos a = 1/√10 и a э ( 3п/2:2п)

Чтобы найти тангенс угла \( a \), когда известно, что \( \cos a = \frac{1}{\sqrt{10}} \) и угол \( a \) находится в интервале \( \left(\frac{3\pi}{2}, 2\pi\right) \), вначале нужно использовать основное тригонометрическое соотношение.

1. Напомним, что тангенс угла можно выразить через синус и косинус: \[ \tan a = \frac{\sin a}{\cos a} \]

2. Мы уже знаем, что \( \cos a = \frac{1}{\sqrt{10}} \). Теперь найдем \( \sin a \). Для этого воспользуемся единичной окружностью. По формуле \( \sin^2 a + \cos^2 a = 1 \), можно подставить известное значение для \( \cos a \): \[ \sin^2 a + \left(\frac{1}{\sqrt{10}}\right)^2 = 1 \] \[ \sin^2 a + \frac{1}{10} = 1 \] \[ \sin^2 a = 1 - \frac{1}{10} = \frac{9}{10} \] \[ \sin a = \pm\sqrt{\frac{9}{10}} = \pm\frac{3}{\sqrt{10}} \]

3. Теперь определим, какой из знаков будет правильным. Угол \( a \) расположен в интервале \( \left(\frac{3\pi}{2}, 2\pi\right) \), то есть в четвертой четверти координатной плоскости, где синус всегда отрицателен. Следовательно: \[ \sin a = -\frac{3}{\sqrt{10}} \]

4. Теперь подставим найденные значения в формулу для тангенса: \[ \tan a = \frac{\sin a}{\cos a} = \frac{-\frac{3}{\sqrt{10}}}{\frac{1}{\sqrt{10}}} = -3 \]

Таким образом, значение тангенса угла \( a \): \[ \tan a = -3 \]